Để tìm giá trị lớn nhất của hai biểu thức \( A \) và \( B \), ta sẽ phân tích từng biểu thức một.

### Biểu thức a:
\[
A = 2.25 - \frac{1}{4} |1 + 2x|
\]
Ta cần khảo sát hàm \( |1 + 2x| \):
1. Khi \( 1 + 2x \geq 0 \) (tức là \( x \geq -0.5 \)):
\[
|1 + 2x| = 1 + 2x
\]
Vậy ta có:
\[
A = 2.25 - \frac{1}{4}(1 + 2x) = 2.25 - \frac{1}{4} - \frac{1}{2}x = 2 - \frac{1}{2}x
\]
Biểu thức này là một hàm số giảm dần, do đó giá trị lớn nhất xảy ra khi \( x \) đạt giá trị nhỏ nhất trong miền xác định.

2. Khi \( 1 + 2x < 0 \) (tức là \( x < -0.5 \)):
\[
|1 + 2x| = -(1 + 2x) = -1 - 2x
\]
Vậy ta có:
\[
A = 2.25 - \frac{1}{4}(-1 - 2x) = 2.25 + \frac{1}{4} + \frac{1}{2}x = 2.5 + \frac{1}{2}x
\]
Biểu thức này là một hàm số tăng dần, do đó giá trị lớn nhất xảy ra khi \( x \) đạt giá trị lớn nhất trong miền xác định.

### Biểu thức b:
\[
B = \frac{1}{3 + \frac{1}{2}|2x - 3|}
\]
Ta cũng phân tích hàm \( |2x - 3| \):
1. Khi \( 2x - 3 \geq 0 \) (tức là \( x \geq 1.5 \)):
\[
|2x - 3| = 2x - 3
\]
Vậy ta có:
\[
B = \frac{1}{3 + \frac{1}{2}(2x - 3)} = \frac{1}{3 + x - \frac{3}{2}} = \frac{1}{x + \frac{3}{2}}
\]
Biểu thức này giảm dần khi \( x \) tăng.

2. Khi \( 2x - 3 < 0 \) (tức là \( x < 1.5 \)):
\[
|2x - 3| = -(2x - 3) = 3 - 2x
\]
Vậy ta có:
\[
B = \frac{1}{3 + \frac{1}{2}(3 - 2x)} = \frac{1}{3 + \frac{3}{2} - x} = \frac{1}{\frac{9}{2} - x}
\]
Biểu thức này tăng khi \( x \) giảm.

### Kết luận
- Để tìm giá trị lớn nhất của \( A \) và \( B \), ta xác định miền xác định và khảo sát các trường hợp.
- Biểu thức nào có giá trị lớn hơn cho các miền xác định chỉ ra giá trị lớn nhất của nó.

### Tính toán cụ thể:
- Đối với \( A \), giá trị lớn nhất sẽ phụ thuộc vào các giá trị nhỏ hơn và lớn hơn \( -0.5 \).
- Đối với \( B \), bạn cần kiểm tra giá trị của \( x \) gần \( 1.5 \) để tìm điểm tối ưu.

Sau những phân tích này, bạn có thể tiếp tục tính chính xác các giá trị và kiểm tra trong đoạn hàm số.