Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện từng phần một.

### a) Chứng minh \(\triangle ABE \cong \triangle ACD\).
- **Giả thiết**: Ta có \(\triangle ABC\) với \(AB = AC\).
- **Điều kiện**: \(AD = AE\).
- **Góc**: Xét các góc \(\angle ABE\) và \(\angle ACD\):

1. Trong tam giác \(\triangle ABE\), có:
- \(AB = AC\) (giả thiết)
- \(AD = AE\) (giả thiết)
- \( \angle ABE = \angle ACD\) (cùng phụ thuộc vào \(\angle A\))

2. Sử dụng hai cạnh và một góc kẹp (SAS), ta có:
\[
\triangle ABE \cong \triangle ACD
\]

### b) Chứng minh \(OD = OE\) và \(OB = OC\).
- **Gọi O** là giao điểm của \(BE\) và \(CD\).
- Vì \(\triangle ABE \cong \triangle ACD\), ta có:
- \(BE\) tương ứng với \(CD\)
- \(AB\) tương ứng với \(AC\)

- Từ chứng minh ở phần (a), có:
- \( \angle ABE = \angle ACD\) → tương ứng với \(OD\) và \(OE\)
- Suy ra \(OD = OE\)

- Với \(OB\) và \(OC\):
- Tương tự, ta có:
- \(OB\) tương ứng với \(AC\) → \(OB = OC\)

Kết luận: Ta đã chứng minh được các yêu cầu trong bài toán.