Cho tam giác ABC có đường cao AI. Từ AA kẻ tia Ax vuông góc với AC, từ BB kẻ tia By song song với AC. Gọi MM là giao điểm của tia Ax và tia By. Nối MM với trung điểm PP của AB, đường MP cắt AC tại Q và BQ cắt AI tại H. chứng minh tứ giác AQHM là hình thang 

Để giải các câu hỏi trong bài toán này, ta sẽ phân tích từng phần theo trình tự.

### a) Chứng minh tứ giác AQHM là hình thang
Ta cần chứng minh tứ giác AQHM là hình thang, tức là hai cạnh đối diện của nó song song.

- **Xét điểm M**: Tia Ax vuông góc với AC và tia By song song với AC. Như vậy, từ điểm A đi theo tia Ax, ta có một quanh đường vuông góc với AC tại điểm X. Do B nằm trên AC, ta có thể nói rằng BM song song với AC (vì By song song với AC).

- **Xét cạnh AQ**: Điểm Q là giao điểm của MP với AC. Trong đó, MP sẽ cắt AC tại một điểm Q nào đó trên AC.

- **Xét cạnh MH**: H là giao điểm của BQ với AI. Vì AI là đường cao, nên BQ cũng sẽ cắt AI theo một phương ngang hoặc theo chiều vuông góc với AC tại một điểm H nào đó.

**Kết luận**: Bởi vì BQ song song với đường Ax, ta có thể khẳng định rằng AQ // MH. Vậy tứ giác AQHM có hai cạnh đối diện song song với nhau, do đó AQHM là hình thang.

### b) Tứ giác AMBQ là hình gì? Vì sao?
Tứ giác AMBQ có thể được chứng minh là hình bình hành nếu ta chỉ ra rằng hai cặp cạnh đối diện của nó song song và bằng nhau.

- Từ định nghĩa, ta đã biết rằng tia By song song với AC và tia Ax vuông góc với AC. Điều này có nghĩa là AB // MQ bởi vì BQ cắt một đường song song với AC.

- Đặc biệt, từ điểm M là giao điểm của hai đường thẳng sai lệch song song với hai đoạn thẳng AB và QH.

**Kết luận**: Tứ giác AMBQ là hình thang và do đã có một cạnh đối diện song song, từ đó suy ra tứ giác AMBQ là hình bình hành.

### c) Chứng minh tam giác PIQ cân
Để chứng minh tam giác PIQ cân, chúng ta cần phải chứng minh rằng hai cạnh PI và PQ bằng nhau.

- **Xét điểm P**: P là trung điểm của AB, có nghĩa là PA = PB.

- **Xét tính chất của tam giác PIQ**: Điểm Q là một hình chiếu và H là giao điểm của hai đường thẳng cắt nhau, do đó chúng ta có thể sử dụng danh nghĩa này:

- **Chiều dài cạnh**: Ta sẽ sử dụng tính chất của tứ giác bình hành để so sánh độ dài cạnh PI và PQ.

Ta có đoạn PQ tính được từ AB, và từ công thức tính khoảng cách giữa hai điểm, chúng ta có thể thấy rằng PA = PB và phân bố đều, suy ra PQ phải bằng PI.

**Kết luận**: Tam giác PIQ cân bởi vì PI = PQ.

Tóm lại:
- AQHM là hình thang.
- AMBQ là hình bình hành.
- Tam giác PIQ cân.