Để chứng minh các kết luận trong bài toán cho tam giác ABC với các đường cao BD và CE, chúng ta thực hiện như sau:

### a) Chứng minh bốn điểm B, E, D, C cùng thuộc một đường tròn:

- Gọi H là chân của đường cao từ A xuống BC. Khi đó, điểm H nằm trên đoạn thẳng BC.

- Chúng ta sẽ chứng minh rằng bốn điểm B, E, D, C nằm trên một đường tròn.

- Từ định nghĩa của các đường cao, ta có:
- \( \angle ABE = \angle ACD = 90^\circ \)
- \( \angle ADB = \angle AEC = 90^\circ \)

- Ta nhận thấy rằng:
- Các tam giác ABE và ACD đều vuông tại E và D tương ứng.

- Theo định lý về đường tròn đi qua 4 điểm (điểm B, E, D, C) cùng thuộc một đường tròn:
- Góc BEC = góc DAB (chúng có chung cạnh AB)
- Góc BDC = góc ABE (có chung cạnh AE)

- Do đó, ta có:
- \( B, E, D, C \) cùng thuộc một đường tròn, vì:
\[
\angle BEC + \angle BDC = 180^\circ
\]

### b) Chứng minh DE < BC:

- Ở đây, DE là độ dài của đoạn thẳng nối hai chân đường cao từ D và E.

- Theo định lý về độ dài đoạn thẳng trong tam giác, mọi đoạn thẳng nối hai chân đường cao luôn nhỏ hơn độ dài cạnh bên mà chúng tạo ra.

- Cụ thể, trong tam giác vuông ABE và ACD, ta có:
- \( DE < AB \) và \( DE < AC \)

- Suy ra từ định lý tam giác:
- \( DE < BC \)

Do đó, ta đi đến kết luận rằng DE < BC.

### Kết luận:

- Ta đã chứng minh rằng bốn điểm \( B, E, D, C \) cùng thuộc một đường tròn và \( DE < BC \).