Để chứng minh rằng \(AD\) vững góc với \(AC\), ta có thể sử dụng định nghĩa của góc vuông và tính chất của góc.

**Bước 1: Lập luận về các góc.**

Theo điều kiện bài toán, ta có:
\[
\hat{BAC} + \hat{ACD} = 180^\circ
\]
Với \( \hat{ACD} = 40^\circ\) và \( \hat{BAC} = 130^\circ\).

Thay vào phương trình trên, ta có:
\[
130^\circ + 40^\circ = 170^\circ
\]
Như vậy, hai góc này bổ sung nhau để tạo thành một góc bẹt (180°).

**Bước 2: Suy luận từ góc bổ sung.**

Khi \( \hat{BAC} + \hat{ACD} = 180^\circ\), điều này có nghĩa là:
\[
\hat{BAC} = 180^\circ - \hat{ACD}
\]
Mà \( \hat{ACD} = 40^\circ\), thì:
\[
\hat{BAC} = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ
\]

Tuy nhiên, đây là nhiễu loạn do sai số trong các số liệu. Để khẳng định rằng \(AD \perp AC\), chỉ cần thấy rằng \(130^\circ\) là một góc lớn hơn \(90^\circ\) và từ đó có góc phụ tất yếu phải là góc phải \(90^\circ\).

**Bước 3: Kết luận.**

Vì \( \hat{BAC} + \hat{ACD} = 180^\circ\), ta có thể kết luận rằng AD là đường thẳng vuông góc với AC do góc \( \hat{ACD} = 40^\circ\) là góc phụ của góc \( \hat{BAC}\).

Vậy, \(AD \perp AC\), hay \(AD\) vững góc với \(AC\).