Để giải bài toán về tứ giác AQHP và các đoạn thẳng trong tam giác vuông ABC, bạn có thể theo các phần sau đây:

### a. Tứ giác AQHP là hình gì?
Tứ giác AQHP là hình chữ nhật. Điều này được chứng minh như sau:

1. **Xét các góc**: Từ A là đỉnh của tam giác vuông ABC, AH là đường cao. Do AH vuông góc với BC, còn HP vuông góc với AB và HQ vuông góc với AC, vậy có:
- \(\angle AHP = 90^\circ\)
- \(\angle AHQ = 90^\circ\)
- \(\angle APQ = 90^\circ\)

2. **Đồng thời, dưới tính chất hình vuông tại A, tứ giác AQHP sẽ có các cạnh đối diện song song và có độ dài bằng nhau.**

Kết luận tứ giác AQHP là hình chữ nhật.

### b. Chứng minh tam giác KQH cân và OK là đường trung trực của HQ
1. **Chứng minh tam giác KQH cân**:
- K là trung điểm của HC, do đó HK = KC.
- Vì AH là đường cao trong tam giác vuông ABC, H là chân đường cao, do đó 0K = HQ.
- Hai đoạn HC và KQ đều chia đều cạnh HY (Do có cùng chiều cao từ A đến HC và từ H đến Q).
- Vậy ta có AK = AH = KH → tam giác KQH cân.

2. **Chứng minh OK là đường trung trực của HQ**:
- O là giao điểm của AH và PQ, do đó NO vuông góc với PQ (tính chất giao điểm).
- Từ đó, OK phân chia đoạn thẳng HQ thành hai đoạn bằng nhau (vì O nằm trên trung trực của đoạn thẳng bởi tính chất đường trung trực trong tam giác cân).
- Nên OK là đường trung trực của HQ.

### c. Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác AOKC là hình thang cân
Để thể hiện tứ giác AOKC là hình thang cân, ta cần điều kiện sau:

1. Trong tam giác vuông ABC, nếu AC = AB, hoặc:
- Tức là 2 cạnh này bằng nhau cần thiết để các góc A và B của tam giác vuông là bằng nhau. Do đó, tức là:

\[
\angle AOB = \angle ACO = 90^\circ
\]

2. Nếu tứ giác AOKC là hình thang cân thì AC // KO và AB // OC. Hay chính xác hơn, tứ giác AQHP có tác động đến tứ giác AOKC, trong trường hợp này, điều kiện về kích thước các cạnh cho tứ giác sẽ dẫn đến:

\[
AC = AB
\]

Kết luận, tứ giác AOKC là hình thang cân khi và chỉ khi tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A với điều kiện EC = EB.

Tóm lại:
- a. Tứ giác AQHP là hình chữ nhật.
- b. Tam giác KQH cân và OK là đường trung trực của HQ.
- c. Tam giác ABC phải là tam giác vuông cân tại A để tứ giác AOKC trở thành hình thang cân.