Để chứng minh rằng phân số \(\frac{3n + 8}{n + 3}\) là một phân số tối giản, chúng ta cần chỉ ra rằng tử số \(3n + 8\) và mẫu số \(n + 3\) không có ước chung nào khác ngoài 1.

Cách đơn giản nhất để làm điều này là sử dụng thuật toán Euclid để tìm ước số chung lớn nhất (ƯCLN) của hai đa thức.

1. **Tính ƯCLN của \(3n + 8\) và \(n + 3\)**:

- Đầu tiên, ta sẽ chia \(3n + 8\) cho \(n + 3\):
\[
3n + 8 = 3(n + 3) - 1
\]
Khi đó,
\[
3n + 8 - 3(n + 3) = 3n + 8 - (3n + 9) = -1
\]
Vậy, \(3n + 8 = 3(n + 3) - 1\) nghĩa là \(3n + 8\) có thể viết lại là một bội của \(n + 3\) trừ đi 1.

2. **Áp dụng thuật toán Euclid**:
\[
\text{ƯCLN}(3n + 8, n + 3) = \text{ƯCLN}(n + 3, -1)
\]

ƯCLN của bất kỳ đa thức nào với -1 là 1 (vì mọi số và đa thức đều chia hết cho 1).

3. **Kết luận**:
Do đó, chúng ta có:
\[
\text{ƯCLN}(3n + 8, n + 3) = 1
\]

Điều này có nghĩa là phân số \(\frac{3n + 8}{n + 3}\) là một phân số tối giản, vì tử số và mẫu số không có ước chung nào khác ngoài 1.