Bài 1:

Để tìm số tự nhiên \( a \) lớn nhất mà thỏa mãn các điều kiện chia hết, chúng ta sẽ tìm ước chung lớn nhất (UCLN) của các số cho trước.

1) Đối với \( 60 \) và \( 504 \):

- Phân tích các số ra thừa số nguyên tố:
- \( 60 = 2^2 \times 3 \times 5 \)
- \( 504 = 2^3 \times 3^2 \times 7 \)

- UCLN của \( 60 \) và \( 504 \) là:
- Ta lấy tối thiểu của mỗi luỹ thừa của các yếu tố:
- Số \( 2 \): min(2, 3) = 2
- Số \( 3 \): min(1, 2) = 1
- Do số \( 5 \) chỉ xuất hiện trong \( 60 \) và số \( 7 \) chỉ xuất hiện trong \( 504 \), chúng không được đưa vào UCLN.

Vậy,
\[
\text{UCLN}(60, 504) = 2^2 \times 3^1 = 4 \times 3 = 12.
\]
Do đó, số tự nhiên \( a \) lớn nhất là \( 12 \).

2) Đối với \( 480 \) và \( 600 \):

- Phân tích các số ra thừa số nguyên tố:
- \( 480 = 2^5 \times 3 \times 5 \)
- \( 600 = 2^3 \times 3 \times 5^2 \)

- UCLN của \( 480 \) và \( 600 \) là:
- Số \( 2 \): min(5, 3) = 3
- Số \( 3 \): min(1, 1) = 1
- Số \( 5 \): min(1, 2) = 1

Vậy,
\[
\text{UCLN}(480, 600) = 2^3 \times 3^1 \times 5^1 = 8 \times 3 \times 5 = 120.
\]
Nên số tự nhiên \( a \) lớn nhất là \( 120 \).

3) Đối với \( 105, 175, 385 \):

- Phân tích các số ra thừa số nguyên tố:
- \( 105 = 3 \times 5 \times 7 \)
- \( 175 = 5^2 \times 7 \)
- \( 385 = 5 \times 7 \times 11 \)

- UCLN của \( 105, 175, 385 \) là:
- Số \( 5 \): min(1, 2, 1) = 1
- Số \( 7 \): min(1, 1, 1) = 1
- Số \( 3 \) và \( 11 \) không xuất hiện ở tất cả các số.

Vậy,
\[
\text{UCLN}(105, 175, 385) = 5^1 \times 7^1 = 5 \times 7 = 35.
\]
Vậy số tự nhiên \( a \) lớn nhất là \( 35 \).

---

Bài 2:

Số cam: 12 quả
Số xoài: 8 quả

Chúng ta cần tìm số phần lớn nhất mà số cam và số xoài trong mỗi phần đều bằng nhau.

Ta tìm UCLN của \( 12 \) và \( 8 \):

- Phân tích:
- \( 12 = 2^2 \times 3 \)
- \( 8 = 2^3 \)

UCLN của \( 12 \) và \( 8 \) là:
- Số \( 2 \): min(2, 3) = 2.

Vậy,
\[
\text{UCLN}(12, 8) = 2^2 = 4.
\]

Số phần có thể chia là \( 4 \).

Mỗi phần sẽ có:
- Số cam mỗi phần: \( \frac{12}{4} = 3 \) quả cam.
- Số xoài mỗi phần: \( \frac{8}{4} = 2 \) quả xoài.

Kết luận cuối:
- Số phần lớn nhất là \( 4 \).
- Mỗi phần có \( 3 \) quả cam và \( 2 \) quả xoài.