Để chứng minh rằng nếu \(\text{UCLN}(a, b) = 1\) thì \(\text{UCLN}(a + b) = 1\), ta có thể làm theo các bước sau:

1. **Giả thiết**: Giả sử \(\text{UCLN}(a, b) = 1\). Điều này có nghĩa là \(a\) và \(b\) là hai số nguyên tố cùng nhau (không có ước chung nào lớn hơn 1).

2. **Chứng minh tạm**: Giả sử \(d\) là ước số chung lớn nhất của \(a + b\) và \(a\). Khi đó, \(d\) phải chia cả \(a\) và \(a + b\). Khi \(d\) chia \(a\), ta có \(a = k \cdot d\) với \(k\) là một số nguyên.

3. **Xét \(a + b\)**: Bởi vì \(d\) chia \(a + b\), ta cũng có:
\[
a + b = k \cdot d + b
\]
Điều này có nghĩa là \(d\) cũng phải chia \(b\).

4. **Từ tính chất của UCLN**: Tuy nhiên, vì \(\text{UCLN}(a, b) = 1\), điều này mâu thuẫn với việc \(d\) chia cả \(a\) và \(b\). Do đó, \(d\) chỉ có thể là 1.

5. **Kết luận**: Vì vậy, \(\text{UCLN}(a + b, a) = 1\).

6. **Tương tự với b**: Ta có thể áp dụng lý luận tương tự để chứng minh rằng \(\text{UCLN}(a + b, b) = 1\).

Cuối cùng, từ đó ta có thể kết luận \(\text{UCLN}(a + b) = 1\), tức là \(\text{UCLN}(a + b) = 1\).

Như vậy, bài toán đã được chứng minh.