Để tìm chữ số tận cùng của tổng \( S = 3^2 + 3^3 + 3^4 + \ldots + 3^{2024} \), ta có thể tập trung vào chữ số tận cùng của từng hạng tử trong tổng.

Chữ số tận cùng của các lũy thừa của 3 có một chu kỳ lặp lại theo quy luật:
- \( 3^1 = 3 \) (chữ số tận cùng là 3)
- \( 3^2 = 9 \) (chữ số tận cùng là 9)
- \( 3^3 = 27 \) (chữ số tận cùng là 7)
- \( 3^4 = 81 \) (chữ số tận cùng là 1)
- \( 3^5 = 243 \) (chữ số tận cùng là 3)

Nhìn vào ví dụ trên, ta thấy rằng chữ số tận cùng của \( 3^n \) sẽ lặp lại theo chu kỳ 4:
- Chu kỳ: \( 3, 9, 7, 1 \)

Bây giờ, xác định chữ số tận cùng cho tất cả các số từ \( n = 2 \) đến \( n = 2024 \):

1. **Tính số hạng**: Từ \( n = 2 \) đến \( n = 2024 \) có tổng cộng: \( 2024 - 2 + 1 = 2023 \) số hạng.
2. **Tính chu kỳ**: Ta sẽ xác định vị trí tận cùng cho các số hạng dựa trên chu kỳ 4.
- Các chỉ số \( 2, 3, 4, 0 \mod 4 \) sẽ tương ứng với các chữ số tận cùng là \( 9, 7, 1, 3 \).

3. **Đếm sự xuất hiện của mỗi chữ số**:
- Từ \( n = 2 \) đến \( n = 2024 \), số hạng này chia theo chu kỳ 4 như sau:
- Các mod 4 sẽ là:
- Số lượng số hạng là \( \frac{2023}{4} = 505 \) số hạng cho mỗi khối 4, và còn dư 3 số hạng.
- Do đó:
- \( 9 \) xuất hiện 506 lần (vị trí 2, với dư là 2)
- \( 7 \) xuất hiện 506 lần (vị trí 3)
- \( 1 \) xuất hiện 505 lần (vị trí 0)
- \( 3 \) xuất hiện 505 lần (vị trí 1)

4. **Tính tổng chữ số tận cùng**:
- Tổng chữ số tận cùng:
\[
S \equiv 506 \times 9 + 506 \times 7 + 505 \times 1 + 505 \times 3 \mod 10
\]
- Tính từng phần:
\[
= 4554 + 3542 + 505 + 1515 \mod 10
\]

Bước cuối cùng đến chữ số tận cùng của tổng này sẽ là:
\[
4554 + 3542 + 505 + 1515 = 10116
\]
Chữ số tận cùng của \( 10116 \) là \( 6 \).

Do đó, chữ số tận cùng của tổng \( S \) là **6**.