Chứng tỏ A+B chia hết cho 7

Để chứng minh rằng \( A + B \) chia hết cho 7, ta cần tính \( A \) và \( B \) trước.

### Tính \( A \)
Đầu tiên, ta có \( A = 2^{2022} + 2^{2023} + 2^{2024} = 2^{2022}(1 + 2 + 4) = 2^{2022} \times 7 \).

Vậy \( A \) chia hết cho 7.

### Tính \( B \)
Tính \( B = 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots 2024 \).

Ta nhận thấy rằng \( B \) là tích của tất cả các số chẵn từ 2 đến 2024. Có thể viết:

\[
B = 2^{1012} \cdot (1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots 1012) = 2^{1012} \cdot 1012!
\]

Chúng ta sẽ kiểm tra \( B \) một cách dễ dàng hơn bằng cách xét số dư của \( B \) khi chia cho 7.

### Số dư của \( B \) modulo 7:

1. **Tính số các số chẵn <= 2024**: Các số chẵn từ 2 đến 2024 là \( 2, 4, 6, \ldots, 2024 \), với dãy số này có tổng số 1012 số.
2. **Phân tích modulo 7**: Chúng ta xem xét các số chẵn trong dãy từ 2 đến 2024 modulo 7.

Các số chẵn theo modulo 7:
- \( 2, 4, 6, 1, 3, 5, 0 \) (có chu kỳ 7)

Đếm số lượng các số chẵn ≤ 2024 cho từng trường hợp:
- Số chẵn có dạng \( 7k + 0 \): 0
- Số chẵn có dạng \( 7k + 2 \): 288
- Số chẵn có dạng \( 7k + 4 \): 288
- Số chẵn có dạng \( 7k + 6 \): 288
- Số chẵn có dạng \( 7k + 1 \): 288
- Số chẵn có dạng \( 7k + 3 \): 288
- Số chẵn có dạng \( 7k + 5 \): 288

Suy ra chỉ có số \( 0 \) và các số trong hình thức \( 7k + 2, 4, 6 \) góp phần vào kết quả nên \( B \) sẽ hầu hết có số dư là 0.

### Kết hợp \( A \) và \( B \)
Chúng ta có:
- \( A \equiv 0 \mod 7 \)
- \( B \equiv 0 \mod 7 \)

Từ đó, ta có \( A + B \equiv 0 + 0 \equiv 0 \mod 7 \).

### Kết luận
Vậy \( A + B \) chia hết cho 7.