Để chứng minh rằng mọi số nguyên tố lớn hơn 2 đều có thể viết dưới dạng \(4k + 1\) hoặc \(4k + 3\) (với \(k\) là số nguyên không âm), ta sẽ xem xét các số nguyên tố với quy tắc chia hết cho 4.

1. **Các số nguyên trên số tự nhiên:** Mọi số nguyên có thể được phân loại dựa trên phần dư khi chia cho 4: chúng thuộc vào một trong các dạng sau:
- \(4k\) (chia hết cho 4)
- \(4k + 1\)
- \(4k + 2\) (chia hết cho 2, nhưng không chia hết cho 4)
- \(4k + 3\)

2. **Xét số nguyên tố:** Chúng ta biết rằng số nguyên tố là các số lớn hơn 1 và chỉ có hai ước số dương là 1 và chính nó. Số 2 là số nguyên tố duy nhất chia hết cho 2. Tất cả các số nguyên tố khác đều là số lẻ.

3. **Số lẻ và phần dư khi chia cho 4:** Bởi vì mọi số nguyên tố lớn hơn 2 đều là số lẻ, nó sẽ không thể ở dạng \(4k\) hoặc \(4k + 2\). Bây giờ, ta chỉ cần xem xét các dạng còn lại:
- Nếu số nguyên tố \(p\) có dạng \(4k\), thì \(p\) sẽ chia hết cho 4, điều này mâu thuẫn với tính chất của số nguyên tố vì \(p\) phải có ước số là 1 và chính nó.
- Nếu số nguyên tố \(p\) có dạng \(4k + 2\), thì \(p\) sẽ chia hết cho 2, cũng mâu thuẫn với tính chất của số nguyên tố (trừ số 2).

4. **Kết luận:** Do đó, mọi số nguyên tố lớn hơn 2 chỉ có thể ở dạng \(4k + 1\) hoặc \(4k + 3\).

Tóm lại, với mỗi số nguyên tố \(p > 2\), ta có \(p\) phải thuộc dạng \(4k + 1\) hoặc \(4k + 3\). Điều này đã được chứng minh xong.