Để hàm số \( y = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 4x + 6m - 1}} \) có tập xác định là \( \mathbb{R} \), biểu thức dưới căn phải dương với mọi giá trị của \( x \).

Ta cần xét bất phương trình sau:

\[
x^2 - 4x + 6m - 1 > 0
\]

Đầu tiên, tìm nghiệm của phương trình bậc 2:

\[
x^2 - 4x + (6m - 1) = 0
\]

Để phương trình này không có nghiệm thực, điều kiện là:

\[
\Delta < 0
\]

Trong đó, \( \Delta \) được tính như sau:

\[
\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (6m - 1) = 16 - 4(6m - 1) = 16 - 24m + 4 = 20 - 24m
\]

Để đảm bảo \( \Delta < 0 \):

\[
20 - 24m < 0
\]

Giải bất phương trình trên:

\[
20 < 24m \\
m > \frac{20}{24} = \frac{5}{6}
\]

Vậy để hàm số có tập xác định là \( \mathbb{R} \), các giá trị của \( m \) cần thoả mãn:

\[
m > \frac{5}{6}
\]

Tóm lại, tất cả các giá trị của \( m \) để hàm số có tập xác định là \( \mathbb{R} \) là \( m > \frac{5}{6} \).