Để tính diện tích \(S_{AMN}\) trong tam giác \(ABC\), ta sẽ sử dụng tỉ lệ giữa các cạnh.

Theo đề bài cho biết:
- \(AB = 3 \times AN\)
- \(AC = 3 \times CM\)

Do đó, ta có:
\[
AN = \frac{1}{3} AB \quad \text{và} \quad CM = \frac{1}{3} AC
\]

Từ tỉ lệ này, ta có thể suy ra rằng điểm \(N\) chia cạnh \(AB\) thành tỉ lệ 1:2 và điểm \(M\) chia cạnh \(AC\) thành tỉ lệ 1:2.

Do đó, diện tích \(S_{AMN}\) có thể tính bằng cách sử dụng tỉ lệ của các đoạn:
\[
S_{AMN} = \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} S_{ABC}
\]

Khi đó, diện tích:
\[
S_{AMN} = \frac{1}{9} \times S_{ABC}
\]

Vì \(S_{ABC} = 36 \, \text{cm}^2\), nên:
\[
S_{AMN} = \frac{1}{9} \times 36 = 4 \, \text{cm}^2
\]

Vậy diện tích \(S_{AMN} = 4 \, \text{cm}^2\).