Để giải bài toán này, ta cần tìm chiều dài (l) và chiều rộng (w) của khu đất hình chữ nhật sao cho:

1. Diện tích khu đất: \( l \times w = 200 \, \text{m}^2 \)
2. Chiều rộng không vượt quá 15 m: \( w \leq 15 \)
3. Tính tổng chiều dài lưới thép cần dùng, công thức tính chu vi là \( P = 2l + 2w \).

Đầu tiên, từ phương trình diện tích, ta có thể viết chiều dài theo chiều rộng:

\[
l = \frac{200}{w}
\]

Tiếp theo, thay vào công thức tính chu vi:

\[
P = 2\left(\frac{200}{w}\right) + 2w = \frac{400}{w} + 2w
\]

Để tìm giá trị tối thiểu của P, ta cần đạo hàm và giải:

1. Đạo hàm P theo w:
\[
\frac{dP}{dw} = -\frac{400}{w^2} + 2
\]
2. Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm điểm cực tiểu:
\[
-\frac{400}{w^2} + 2 = 0 \implies \frac{400}{w^2} = 2 \implies w^2 = 200 \implies w = \sqrt{200} \approx 14.14 \, \text{m}
\]

3. Khi \( w \approx 14.14 \) m, tính chiều dài:
\[
l = \frac{200}{14.14} \approx 14.14 \, \text{m}
\]

4. Chu vi trong trường hợp này:
\[
P = 2(14.14) + 2(14.14) = 56.56 \, \text{m}
\]

Vậy, tổng chiều dài lưới thép cần dùng là khoảng 56.56 m khi chiều rộng khoảng 14.14 m (không vượt quá 15 m) và chiều dài tương ứng là 14.14 m.