Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp giải hệ phương trình đồng dư.

Gọi số phần thưởng là \( x \). Chúng ta có các điều kiện sau:

1. \( x \equiv 2 \mod{3} \)
2. \( x \equiv 3 \mod{5} \)
3. \( x \equiv 4 \mod{7} \)

Chúng ta sẽ giải từng bước.

**Bước 1: Giải đồng dư đầu tiên với thứ hai**

Xét hai đồng dư đầu tiên:

1. \( x \equiv 2 \mod{3} \)
2. \( x \equiv 3 \mod{5} \)

Có thể viết \( x \) từ đồng dư thứ nhất:
\[ x = 3k + 2 \]
với \( k \) là một số nguyên.

Thay vào đồng dư thứ hai:
\[ 3k + 2 \equiv 3 \mod{5} \]
\[ 3k \equiv 1 \mod{5} \]

Giải phương trình này, ta tìm được ngược hiệu số với 3 trong modulo 5. Ta thử các giá trị của \( k \):

- Nếu \( k = 0: 3 \cdot 0 \equiv 0 \mod{5} \)
- Nếu \( k = 1: 3 \cdot 1 \equiv 3 \mod{5} \)
- Nếu \( k = 2: 3 \cdot 2 \equiv 1 \mod{5} \)

Vậy \( k \equiv 2 \mod{5} \) tức là:
\[ k = 5m + 2 \]
với \( m \) là một số nguyên.

Thay vào \( x = 3k + 2 \):
\[ x = 3(5m + 2) + 2 = 15m + 6 + 2 = 15m + 8 \]
Ta có được:
\[ x \equiv 8 \mod{15} \]

**Bước 2: Kết hợp với đồng dư thứ ba**

Bây giờ ta kết hợp với đồng dư thứ ba:
1. \( x \equiv 8 \mod{15} \)
2. \( x \equiv 4 \mod{7} \)

Viết \( x \) từ đồng dư đầu tiên:
\[ x = 15n + 8 \]
với \( n \) là một số nguyên.

Thay vào đồng dư thứ ba:
\[ 15n + 8 \equiv 4 \mod{7} \]
Giải phương trình này:
\[ 15n + 8 \equiv 4 \mod{7} \]
Giảm \( 15 \mod{7} \) và \( 8 \mod{7} \):
\[ 1n + 1 \equiv 4 \mod{7} \]
\[ n \equiv 3 \mod{7} \]

Vậy \( n = 7p + 3 \) với \( p \) là một số nguyên.

**Bước 3: Tính giá trị của \( x \)**

Thay vào \( x \):
\[ x = 15(7p + 3) + 8 = 105p + 45 + 8 = 105p + 53 \]

Để tìm số tự nhiên nhỏ nhất, đặt \( p = 0 \):
\[ x = 53 \]

**Kết luận:**
Số phần thưởng của học sinh khối lớp 6 là \( \boxed{53} \).