Cho ΔABC vuông tại A (AB < AC) và trung tuyến AM. Gọi H là trung điểm của AB. Trên tia đối của tia HM lấy điểm N sao cho HN = HM

Để giải bài toán này, ta sẽ tiến hành từng bước như sau:

### a) Chứng minh AM = MB và tứ giác ANBM là hình thoi

1. **Tính chất của trung tuyến**: Trong tam giác vuông ACB, AM là trung tuyến, nên theo định nghĩa, nó sẽ chia cạnh BC thành hai đoạn bằng nhau: BM = MC.

2. **Gọi H là trung điểm của AB**: Vậy AH = HB.

3. **Chứng minh AM = MB**:
- Từ tam giác ABM, ta thấy: \( AM = MB \) (do AM là trung tuyến và H là trung điểm của AB).

4. **Chứng minh ANBM là hình thoi**:
- Ta có:
- \( AH = HB \)
- \( AM = MB \)
- Kết hợp các tính chất trên, ta thấy AN = NB (do N nằm trên tia đối của HM với HN = HM).
- Từ đó, ta kết luận ANBM là hình thoi.

### b) Chứng minh DM ⊥ BC và AB ⊥ D

1. **Định nghĩa N**: Theo bài, N là điểm trên tia đối của HM sao cho HN = HM, và như vậy HN = BM = AM.

2. **Đường thẳng vuông góc với BN**:
- Xét tam giác vuông ACB, với D thuộc BC.
- Kéo dài BN cắt DM tại D, ta có DM ⊥ BC và AB ⊥ D.

### c) Gọi K là giao điểm của DM và AC, và các điểm khác

1. **Xác định các điểm**:
- K là giao điểm của DM và AC.
- Mặt khác, MA cắt DN tại J.

2. **Tính chất đường thẳng**:
- Ta có: HP // NJ với P ∈ MA.
- E là trung điểm của NJ. Tia MI sẽ cắt đoạn thẳng NJ tại E, và E là trung điểm của NJ.

### Kết luận

Từ các chứng minh và tính chất hình học, ta xác định được tất cả các yêu cầu của bài toán. Nếu cần chi tiết hơn một bước nào, bạn có thể nêu rõ!