Để chứng minh các phần yêu cầu trong bài toán về tam giác \( ABC \):

### a. Chứng minh \(\frac{EA}{EC} = \frac{AM}{BM}\)

1. Trong tam giác \( ABC \), điểm \( M \) là trung điểm của \( BC \), nghĩa là \( BM = MC \).
2. Do \( MD \) là phân giác góc \( AMB \), ta áp dụng định lý phân giác trong tam giác \( AMB \):
\[
\frac{AM}{BM} = \frac{AD}{DB}
\]
3. Vì \( DE \) là đường thẳng song song với \( BC \), theo tính chất của hình bình hành (hay hệ quả của định lý Thales), ta có:
\[
\frac{EA}{EC} = \frac{AD}{DB}
\]
4. Kết hợp các tỉ số, ta nhận được:
\[
\frac{EA}{EC} = \frac{AM}{BM}
\]
Như vậy, chúng ta đã chứng minh được yêu cầu a.

### b. Chứng minh \( ME \) là phân giác của góc \( AMC \)

1. Từ phần a, chúng ta đã có tỉ số:
\[
\frac{EA}{EC} = \frac{AM}{BM}
\]
2. Theo tính chất của đường phân giác, nếu một đường thẳng chia một góc thành hai góc bằng nhau, thì tỉ số của các đoạn trên hai cạnh của góc đó sẽ bằng nhau với tỉ số đoạn cắt phía đối diện.
3. Do \( M \) là trung điểm của \( BC \) và \( ME \) chia đoạn \( AE \) thành hai phần có tỉ số bằng tỉ số đoạn:
\[
\frac{EA}{EC} = \frac{AM}{BM}
\]
nên \( ME \) sẽ là phân giác của góc \( AMC \).
4. Như vậy, ta có thể kết luận \( ME \) là phân giác của góc \( AMC \).

Kết luận: hai yêu cầu trong bài toán đã được chứng minh.