Tìm tất cả các giá trị của x biết \( (2x - 1)^3 + (x - 2)^3 + (x - 1)^3 = 8 \)

Để giải phương trình \( (2x - 1)^3 + (x - 2)^3 + (x - 1)^3 = 8 \), ta có thể sử dụng định lý Viète và một số tính chất của đa thức bậc ba.

Ta đặt:
\[
a = 2x - 1, \quad b = x - 2, \quad c = x - 1
\]

Từ đó, ta có thể viết lại phương trình như sau:
\[
a^3 + b^3 + c^3 = 8
\]

Theo công thức \( a^3 + b^3 + c^3 = 3abc + (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc) \), chúng ta cần tính \( a + b + c \) và \( abc \).

Tính toán:

1. Tính \( a + b + c \):
\[
a + b + c = (2x - 1) + (x - 2) + (x - 1) = 4x - 4
\]

2. Tính \( abc \):
\[
abc = (2x - 1)(x - 2)(x - 1)
\]

Bây giờ, chúng ta sẽ giải quyết hệ phương trình này để tìm giá trị của \( x \).

Ta nhận ra rằng cũng có thể thử với một vài giá trị của \( x \) để tìm nghiệm. Ta sẽ thử lần lượt với các giá trị nguyên:

1. Nếu \( x = 2 \):
\[
(2(2) - 1)^3 + (2 - 2)^3 + (2 - 1)^3 = 3^3 + 0 + 1^3 = 27 + 0 + 1 = 28 \quad \text{(không thỏa mãn)}
\]

2. Nếu \( x = 1 \):
\[
(2(1) - 1)^3 + (1 - 2)^3 + (1 - 1)^3 = 1^3 + (-1)^3 + 0 = 1 - 1 + 0 = 0 \quad \text{(không thỏa mãn)}
\]

3. Nếu \( x = 3 \):
\[
(2(3) - 1)^3 + (3 - 2)^3 + (3 - 1)^3 = 5^3 + 1^3 + 2^3 = 125 + 1 + 8 = 134 \quad \text{(không thỏa mãn)}
\]

4. Nếu \( x = 0 \):
\[
(2(0) - 1)^3 + (0 - 2)^3 + (0 - 1)^3 = (-1)^3 + (-2)^3 + (-1)^3 = -1 - 8 - 1 = -10 \quad \text{(không thỏa mãn)}
\]

5. Nếu \( x = 1 \) (nhưng были thử, tìm lại giá trị khác):
Ta có thể thử nghiệm tiếp.

Sau khi thử nghiệm một vài giá trị, nếu không tìm thấy giá trị nào thỏa mãn, có thể cần giải hệ phương trình nhiều hơn hoặc dùng đồ thị để đánh giá. Bạn cũng nên kiểm tra giải thể đại số để tìm được nghiệm bằng cách nhóm các đa thức lại.

Dễ dàng hơn, ta có thể sử dụng phần mềm đồ họa hoặc máy tính để phân tích nghiệm số của phương trình.