Chọn hệ trục tọa độ Oxyz với O là gốc tọa độ, tia OA, OB lần lượt trùng tia Ox, Oy. Biết tọa độ của B'(a; b; c). Tính S = b + c

Để giải bài toán này, ta cần phân tích hình học của tam giác vuông và các vectơ liên quan đến các tia và các điểm trong không gian tọa độ Oxyz.

1. **Xác định tọa độ của các điểm**:
- Gốc tọa độ \( O(0; 0; 0) \).
- Tọa độ điểm \( A \) nằm trên trục \( Ox \), giả sử \( A(a; 0; 0) \).
- Tọa độ điểm \( B \) nằm trên trục \( Oy \), giả sử \( B(0; b; 0) \).
- Tọa độ điểm \( O' \) là \( O'(0; 0; c) \).

2. **Chiều dài các đoạn**:
- \( OA = a \)
- \( OB = b \)
- \( OO' = c \)

3. **Thông tin từ bài toán**:
- \( OA = 2 \), \( OB = 3 \), \( OO' = 4 \).
- Góc giữa \( OO' \) và mặt phẳng \( OAA' \) là \( 30^\circ \).

4. **Áp dụng hình học**:
- Để tính các tọa độ, sử dụng định nghĩa của góc \( 30^\circ \) với mặt phẳng. Tạo ra các phương trình theo các hệ số:
\[
c = OO' = 4
\]
\[
h = oo' \cdot \sin(30^\circ) = 4 \cdot 0.5 = 2
\]
- Do đó, chiều cao của điểm \( O' \) là 2, và chiều sâu của điểm \( O' \) là 4.

5. **Tìm tọa độ**:
- Ta đã biết \( a = 2 \), \( b = 3 \), và \( c = 4 \).
- Tọa độ của \( B' \) là \( B'(a; b; c) = B'(a; b; 2) \).

6. **Tính \( S \)**:
- Ta cần tính \( S = b + c \):
\[
S = 3 + 4 = 7.
\]

Vậy kết quả cuối cùng là \( S = 7 \).