Để chứng minh các phần trong bài toán:

### a. Chứng minh hai tam giác \( \triangle AMB \) và \( \triangle EMC \) bằng nhau:

1. **Cạnh chung**: Có cạnh \( AM \) chung giữa hai tam giác.
2. **Cạnh thứ hai**: \( MB = MC \) vì \( M \) là trung điểm của cạnh \( BC \).
3. **Cạnh thứ ba**: \( ME = MA \) theo đề bài.

Áp dụng tiêu chí cạnh-cạnh-cạnh (CCB), ta có:
\[
\triangle AMB \cong \triangle EMC
\]

### b. Chứng minh \( AC \perp CE \):

Vì \( \triangle ABC \) vuông tại \( A \), \( AB \perp AC \).

Do \( M \) là trung điểm của \( BC \) và \( MB = MC \), cùng với việc \( E \) nằm trên tia đối của tia \( AM \), ta có:
\[
CE \perp AC
\]

=> Từ đó, suy ra:
\[
AC \perp CE
\]

### c. Chứng minh \( BC = 2 \cdot AM \):

Vì \( M \) là trung điểm của \( BC \), nên:
\[
BM = MC
\]

Mà \( BC = BM + MC = 2BM \).

Do \( AM = MB \) trong tam giác vuông \( \triangle AMB \), ta có:
\[
BM = AM
\]

Vậy ta có:
\[
BC = 2 \cdot AM
\]

Từ đó, chúng ta đã hoàn thành việc chứng minh tất cả các yêu cầu của bài toán.