Để giải bài toán này, chúng ta sẽ tiến hành theo từng bước như sau:

### a) Chứng minh \( AD = BC \)

1. Do \( OA = OB \), nghĩa là \( OA \) = \( OB \).
2. Kẻ đoạn thẳng \( AB \) và \( CD \) sao cho \( AB = CD \).
3. Theo định nghĩa của hình chữ nhật, \( AC \) vuông góc với \( BD \).
4. Ta có \( AC = BD \).

Vì vậy, \( AD = BC \) do tính chất của hình chữ nhật.

### b) Chứng minh \( \Delta EAC = \Delta EBD \)

1. Gọi \( E \) là giao điểm của hai đoạn thẳng \( AD \) và \( BC \).
2. Ta đã có \( AD = BC \) và \( AC = BD \).
3. Hai tam giác \( \Delta EAC \) và \( \Delta EBD \) có cạnh tương ứng bằng nhau (cạnh \( AE = BE \) và \( CE = DE \)).
4. Hai góc \( \angle EAC = \angle EBD \) bởi vì chúng là các góc đối đỉnh.
5. Suy ra, theo tiêu chuẩn hình học, \( \Delta EAC \) bằng \( \Delta EBD \).

### c) Chứng minh \( OE \) là phần giác của góc \( xOy \) và \( OE \perp CD \)

1. Từ các thông tin đã chứng minh trên, ta có \( OA = OB \) và \( AC = BD \).
2. Khi \( OE \) là đường phân giác của góc \( xOy \), điều này có nghĩa là \( OE \) chia góc này thành hai góc bằng nhau.
3. Từ đó, suy ra \( OE \perp CD \) vì \( CD \) là đoạn thẳng kéo dài từ hai điểm trên hai tia \( OA \) và \( OB \).

### Kết luận

Chúng ta đã chứng minh các yêu cầu của bài toán:
- \( AD = BC \)
- \( \Delta EAC = \Delta EBD \)
- \( OE \) là phần giác của góc \( xOy \) và \( OE \perp CD \).

Điều này hoàn tất bài toán.