Để chứng minh tam giác \( AQP \) là tam giác cân, ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Xác định các điểm và các góc:**
- \( H \) là giao điểm của đường cao \( BD \) và \( CE \).
- \( P \) là điểm thuộc đoạn thẳng \( HB \).
- \( Q \) là điểm thuộc đoạn thẳng \( HC \).
- Theo đề bài, ta có \( \angle APC = \angle AQB = 90^\circ \).

2. **Lưu ý về các góc:**
- Từ \( A \) hạ đường vuông góc xuống \( BC \), ta có \( AH \perp BC \).
- Do \( \angle APC = 90^\circ \), nên \( AP \) vuông góc với \( PC \).
- Do \( \angle AQB = 90^\circ \), nên \( AQ \) vuông góc với \( QB \).

3. **Hình thành các tam giác vuông:**
- Xét tam giác vuông \( AHP \) và \( AHQ \):
- Trong tam giác \( AHP \), ta có \( \angle AHP = 90^\circ \) (bởi vì \( AH \perp BC \)).
- Trong tam giác \( AHQ \), ta cũng có \( \angle AHQ = 90^\circ \).

4. **Tính chất của tam giác vuông:**
- Xét các góc:
- \( \angle APH + \angle AHP = 90^\circ \).
- \( \angle AQH + \angle AHQ = 90^\circ \).

5. **Chứng minh tam giác \( AQP \) cân:**
- Từ \( AQ \perp QB \) và \( AP \perp PC \), khi \( AP \) và \( AQ \) cùng nằm bên (trái hoặc phải) của đường thẳng \( AH \).
- \( \angle PAH = \angle QAH \) (cả hai góc đều bằng \( 90^\circ - \angle AHP \)).
- Do đó, \( \angle AQP = \angle APQ \).

Vì vậy, ta có \( \angle AQP = \angle APQ \), suy ra tam giác \( AQP \) cân tại \( A \).

**Kết luận:**
Tam giác \( AQP \) là tam giác cân, với \( AP = AQ \).