Để chứng minh rằng \( CB \) là tiếp tuyến của đường tròn \( (O) \), ta có thể sử dụng định lý về tiếp tuyến và dây cung. Cụ thể:

1. **Xét tam giác \( OAC \)**:
- \( OA \) là bán kính của đường tròn.
- \( AC \) là đường vuông góc với dây \( AB \) tại điểm \( A \).

2. **Chứng minh góc**:
- Theo định nghĩa, một tiếp tuyến tạo với bán kính tại điểm tiếp xúc một góc \( 90^\circ \). Vì \( CB \) là đoạn thẳng nối từ điểm \( C \) đến điểm \( B \) và \( A \) là điểm tiếp xúc với đường tròn tại \( A \), ta có:
\[
\angle OAC = 90^\circ
\]

3. **Xét tính chất của \( CB \)**:
- Vì \( AC \) vuông góc với \( AB \) (có phương song song với dây AB), và \( OA \) vuông góc với \( CB \), suy ra \( CB \) vuông góc với \( OA \).

4. **Kết luận**:
- Từ đó, ta có \( CB \) là tiếp tuyến của đường tròn \( (O) \) tại điểm \( A \) do đường kính \( OA \) vuông góc với tiếp tuyến \( CB \) tại điểm \( A \).

Với phần 2, khi cho biết bán kính của đường tròn là \( R = 15 \, cm \) và \( AB = 24 \, cm \):

- Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông \( OAC \):
\[
OC^2 = OA^2 + AC^2
\]
Từ đó, ta có thể tính độ dài \( OC \) dựa vào các thông tin đã cho.

1. Ta tính \( AC \) trước: \( AB = 24 \, cm \) có thể chia thành hai đoạn \( AP \) và \( PB \) với \( P \) là điểm nối. Bởi vì \( AP = PB \), ta có \( AP = PB = 12 \, cm \).

2. Từ tam giác vuông \( OAC \):
- \( OA = 15 \, cm \)
- \( AC = AP = 12 \, cm \)

Áp dụng công thức tính \( OC \):
\[
OC^2 = OA^2 + AC^2 = 15^2 + 12^2 = 225 + 144 = 369
\]
\[
OC = \sqrt{369} \approx 19.2 \, cm
\]

Vậy độ dài \( OC \approx 19.2 \, cm \).