Để giải bài toán, ta cần xác định sự trung hòa giữa dung dịch HNO₃ và dung dịch Ba(OH)₂.

1. **Tính số mol của Ba(OH)₂:**
\[
\text{Số mol Ba(OH)}_2 = 0,2 \, \text{M} \times 0,150 \, \text{L} = 0,03 \, \text{mol}
\]

Do mỗi phân tử Ba(OH)₂ cung cấp 2 hydroxide ion (OH⁻), số mol OH⁻ sẽ là:
\[
\text{Số mol OH}⁻ = 2 \times 0,03 \, \text{mol} = 0,06 \, \text{mol}
\]

2. **Tính số mol của HNO₃:**
\[
\text{Số mol HNO}_3 = x \, \text{M} \times 0,050 \, \text{L} = 0,050x \, \text{mol}
\]

3. **Phản ứng xảy ra:**
Số mol H⁺ từ HNO₃ sẽ phản ứng với số mol OH⁻ từ Ba(OH)₂:
\[
\text{H}^+ + \text{OH}^- \rightarrow \text{H}_2\text{O}
\]

Bảng số mol sau phản ứng sẽ là:
- Số mol OH⁻ còn lại:
\[
0,06 - 0,050x \quad (\text{nếu } 0,050x < 0,06)
\]

4. **Điều kiện đầu tiên:**
Nếu quỳ tím cho màu xanh, thì dung dịch A là kiềm, nghĩa là:
\[
0,06 - 0,050x > 0 \implies 0,06 > 0,050x \implies x < 1,2
\]

5. **Thêm HCl:**
Số mol của HCl là:
\[
\text{Số mol HCl} = 0,1 \, \text{M} \times 0,100 \, \text{L} = 0,01 \, \text{mol}
\]

Khi thêm HCl vào dung dịch A, H⁺ sẽ phản ứng với OH⁻ còn lại:
\[
\text{Mới?} \quad 0,06 - 0,050x - 0,01 = 0
\]
Giải phương trình:
\[
0,06 - 0,050x - 0,01 = 0 \implies 0,05 - 0,050x = 0 \implies 0,050x = 0,05 \implies x = 1
\]

**Kết quả:** \( x = 1 \, \text{M} \)