Rút gọn các biểu thức

**a) Rút gọn biểu thức:**

Ta có biểu thức:

\[
S_n = \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4} + \frac{1}{3 \cdot 4 \cdot 5} + \cdots + \frac{1}{(n-1)n(n+1)}
\]

Biểu thức tổng quát cho một phần của dãy này là:

\[
\frac{1}{k(k+1)(k+2)}.
\]

Chúng ta có thể khai thác dạng phân số này bằng cách tìm phân số nghịch đảo:

\[
\frac{1}{k(k+1)(k+2)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{k(k+1)} - \frac{1}{(k+1)(k+2)} \right).
\]

Sử dụng phương pháp này, ta có thể rút gọn biểu thức tổng lại.

**b) Chứng minh bất đẳng thức:**

Ta có yêu cầu chứng minh:

\[
\frac{1}{3^3} + \frac{1}{4^3} + \frac{1}{5^3} + \ldots + \frac{1}{n^3} < \frac{1}{12}.
\]

Thay vì tính tổng trực tiếp, ta có thể dùng rằng:

\[
\frac{1}{k^3} < \frac{1}{k(k-1)(k+1)}.
\]

Khi đó, ta áp dụng nó vào biểu thức:

\[
\sum_{k=3}^{n} \frac{1}{k^3} < \sum_{k=3}^{n} \frac{1}{k(k-1)(k+1)}.
\]

Như vậy, thông qua việc rút gọn và tái cấu trúc biểu thức, ta có thể chứng minh kết quả này.

Nếu cần thiết, bạn có thể triển khai chi tiết hơn về từng bước tính toán.