Tính OC và chứng minh rằng AD < AB + BC

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng một số kiến thức về hình học và một số công thức liên quan đến đường tròn.

1. **Vẽ hình**: Đầu tiên, vẽ đường tròn có tâm O và đường kính AB. Điểm D là điểm trên đường thẳng vuông góc với AB tại O.

2. **Kí hiệu các thông số**:
- Gọi \( AB = c = 24 \).
- Gọi \( OC = r \) (bán kính đường tròn).
- Tâm O của đường tròn đường kính AB, có bán kính là \( \frac{AB}{2} = 12 \).
- Chúng ta cần tìm OC (theo đề bài, OC = r).

3. **Áp dụng định lý Cosine**:
- Chúng ta cần tìm liên hệ giữa các đoạn AD, AB và BC với các góc và độ dài đã cho:
- \( \cos(\angle BAC) = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC} \).
- Biết rằng \( \angle BDC = 30^\circ \) và BC > 0 nên có thể tính được các độ dài liên quan.

4. **Tính OC**:
- Từ các thông số đã cho, nếu ta có thể xây dựng một hệ phương trình hoặc sử dụng định lý Pytago cho tam giác, chúng ta có thể tính OC.

5. **Chứng minh AD < AB + BC**:
- Sử dụng bất đẳng thức tam giác cơ bản:
\[
AD < AB + DB \quad \text{với DB = BC}
\]
Điều này cho thấy \( AD < c + r \).

6. **Kết luận**:
- Đặt AD < AB + BC, chúng ta có thể phân tích để chứng minh tính đúng đắn của bất đẳng thức đó bằng cách sử dụng các hệ quả từ hình học.

### Lưu ý:
Để thực hiện các phép tính cụ thể hơn, ta cần một hình vẽ rõ ràng. Nếu có thể, nên sử dụng bảng số liệu hoặc phần mềm vẽ hình để minh họa cho các tính toán hình học này, từ đó kiểm tra lại các phép toán một cách chính xác nhất.