Ta có phương trình:

\[
24m^4 + 1 = n^2.
\]

Ta sẽ phân tích phương trình này. Chuyển biến số \(n^2\) về phía bên trái:

\[
n^2 - 1 = 24m^4.
\]

Ta có thể viết lại phương trình như sau:

\[
(n - 1)(n + 1) = 24m^4.
\]

Gọi \(a = n - 1\) và \(b = n + 1\), thì \(b - a = 2\) (vì \(n + 1 - (n - 1) = 2\)). Suy ra \(b = a + 2\). Thay vào phương trình ta có:

\[
a(a + 2) = 24m^4.
\]

Mở rộng ra ta có:

\[
a^2 + 2a = 24m^4.
\]

Ta sẽ phân tích các trường hợp của \(m\) và sau đó xem xét \(mn\).

### Phân tích theo modulo 5

Ta xét mô đun 5 cả hai vế của phương trình \(24m^4 + 1\).

\(24 \equiv 4 \mod 5\), nên ta có:

\[
4m^4 + 1 \equiv n^2 \mod 5.
\]

Chúng ta cần kiểm tra giá trị của \(m^4 \mod 5\):

- Nếu \(m \equiv 0 \mod 5\): \(m^4 \equiv 0 \mod 5\) thì \(4m^4 + 1 \equiv 1 \mod 5\).
- Nếu \(m \equiv 1 \mod 5\): \(m^4 \equiv 1 \mod 5\) thì \(4m^4 + 1 \equiv 5 \equiv 0 \mod 5\).
- Nếu \(m \equiv 2 \mod 5\): \(m^4 \equiv 1 \mod 5\) thì \(4m^4 + 1 \equiv 5 \equiv 0 \mod 5\).
- Nếu \(m \equiv 3 \mod 5\): \(m^4 \equiv 1 \mod 5\) thì \(4m^4 + 1 \equiv 5 \equiv 0 \mod 5\).
- Nếu \(m \equiv 4 \mod 5\): \(m^4 \equiv 1 \mod 5\) thì \(4m^4 + 1 \equiv 5 \equiv 0 \mod 5\).

Từ phân tích trên, chúng ta thấy rằng:

- Khi \(m \equiv 0 \mod 5\) thì \(n^2 \equiv 1 \mod 5\). Nghĩa là \(n \equiv 1 \mod 5\) hoặc \(n \equiv 4 \mod 5\).
- Đối với các trường hợp còn lại (khi \(m \equiv 1, 2, 3, 4 \mod 5\)), thì \(n^2 \equiv 0 \mod 5\) (tức là \(n \equiv 0 \mod 5\)).

Do đó, nếu \(m \equiv 0 \mod 5\), \(n\) có thể là \(1\) hoặc \(4 \mod 5\); nếu \(m \not\equiv 0 \mod 5\), thì \(n \equiv 0 \mod 5\).

Kết hợp lại, khi \(m n\) chia hết cho 5:

- Nếu \(m\) chia hết cho 5, chắc chắn \(mn\) chia hết cho 5.
- Nếu \(m\) không chia hết cho 5, thì \(n\) lại phải chia hết cho 5 (từ các trường hợp 1, 2, 3, 4 ở trên).

Vậy có thể kết luận rằng \(mn\) chắc chắn chia hết cho 5.

\[
\text{Vậy, } mn \text{ chia hết cho } 5.
\]

Chứng minh đã hoàn thành.