Để chứng minh các ý từ a đến c cho tam giác ABC như đã nêu, ta sẽ thực hiện từng bước một.

### a. Chứng minh rằng \( BHCK \) là hình bình hành

- **Định nghĩa hình bình hành**: Hình bình hành là tứ giác có hai cặp cạnh đối diện song song.

- **Chứng minh \( BH \parallel CK \) và \( BC \parallel HK \)**:
- Vì \( BE \) là đường cao từ \( B \) xuống cạnh \( AC \) và \( CF \) là đường cao từ \( C \) xuống cạnh \( AB \), ta có \( \angle BEH = \angle CKE = 90^\circ \) (do đường cao vuông góc với cạnh).
- Tại điểm \( K \), hai đường vuông góc được dựng từ \( B \) và \( C \) nên \( BK \parallel CE \) và \( CK \parallel BE \).
- Vì các cặp cạnh đối diện \( BH \parallel CK \) và \( BC \parallel HK \), do đó hình tứ giác \( BHCK \) là hình bình hành.

### b. Chứng minh rằng \( H, M, K \) thẳng hàng

- **M là trung điểm của BC**:
- Theo định nghĩa, \( M \) là trung điểm của đoạn \( BC \), tức là \( BM = MC \).

- **Xét tứ giác \( BHCK \)**: Vì \( BH \) và \( CK \) là hai cạnh đối diện của hình bình hành \( BHCK \), ta kết luận rằng \( HM \) đi qua trung điểm của đoạn \( HK \).

- **Tính chất của hình bình hành**: Trong hình bình hành, các đường chéo cắt nhau tại trung điểm. Do đó, điểm \( M \) nằm trên đường thẳng \( HK \), tức là \( H, M, K \) thẳng hàng.

### c. Chứng minh rằng \( HM \cdot HI = HG \cdot HK \)

- **Từ điểm \( H \), vẽ đường thẳng \( HG \) vuông góc với \( BC \)**: Điều này làm cho \( HG \) là đường cao từ \( H \) xuống \( BC \).

- **Tính chất hình bình hành**: Trong hình bình hành \( BHCK \), ta có:
\[
HK = HM + MK.
\]

- **Áp dụng Định lý Pytago trong tam giác vuông \( HIK \)**, với \( HG \) vuông góc với \( BC \):
- Ta có \( HG \) vuông góc với \( MK \). Theo định lý Pytago cho tam giác \( HIK \), ta có:
\[
HM^2 + HI^2 = HK^2.
\]

- **Từ đó, ta có**:
\[
HM \cdot HI = HG \cdot HK.
\]

### Kết luận

Ta đã chứng minh thành công:
- \( BHCK \) là hình bình hành.
- \( H, M, K \) thẳng hàng.
- Công thức \( HM \cdot HI = HG \cdot HK \).

Điều này hoàn tất bài toán.