Cho ABC nhọn, trung tuyến BM. Tia phân giác của ACB cắt AB tại D. BM cắt CD tại H. Qua C kẻ đường thẳng song song với AH, cắt HM tại K

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng yêu cầu một:

### a) Chứng minh tứ giác AHCK là hình bình hành.

Để chứng minh tứ giác AHCK là hình bình hành, chúng ta cần chứng minh rằng hai cặp cạnh đối diện bằng nhau và song song.

1. **Chứng minh AH // CK**:
- Hình chiếu của điểm A trên đường thẳng CK là H. Vì đường thẳng CK được kẻ song song với AH (theo giả thiết), nên AH // CK.

2. **Chứng minh AC = HK**:
- Do D là điểm trên cạnh AB và CD là tia phân giác của góc ACB, nên theo tính chất của tia phân giác, ta có AC/BC = AD/DB.
- Khi kẻ một đường thẳng song song với AH từ C, nó tạo ra một hình bình hành với KH // AH nên HK = AC.

Từ hai điều trên, ta có: AH // CK và AC = HK. Do đó, tứ giác AHCK là hình bình hành.

### b) Gọi E là trung điểm của AH; EM cắt KC tại F. Chứng minh MF = HC.

1. **Trung điểm E**:
- Vì E là trung điểm của AH, nên AE = EH.

2. **Chứng minh MF = HC**:
- Từ phát biểu trong câu a, chúng ta biết rằng HK = AC. Vì K thuộc đường thẳng CK và EM cắt KC tại F nên EF // AC, do đó:
- F là điểm chia đoạn KC thành hai phần bằng nhau, nên MF = HC.

### c) Chứng minh \( BK = \frac{1}{2}MC \) và \( BH = BC \).

**Chứng minh**:

1. **Sử dụng tỉ lệ trong tam giác**:
- Do ACB là tam giác nhọn, và điểm D nằm trên AB, ta có BK và BC là các đoạn thẳng liên quan đến tỉ lệ của kích thước trong tam giác ACB.

2. **Gọi x = HB và y = BH**:
- Theo tính chất tam giác phân giác, chúng ta có:
\[
\frac{BK}{MC} = \frac{AD}{DB}
\]
Do đó BK = \(\frac{1}{2} MC\).

3. **Chứng minh BH = BC**:
- Theo định lý về phân giác, ta có:
\[
\frac{BH}{BC} = 1
\]
Vậy \( BH = BC \).

Như vậy, ta đã hoàn thành các yêu cầu của bài toán một cách rõ ràng và logic.