Để chứng minh hai số lẻ liên tiếp là nguyên tố cùng nhau, ta có thể làm như sau:

Gọi hai số lẻ liên tiếp là \(n\) và \(n + 2\).

Hai số nguyên tố cùng nhau nghĩa là ước chung lớn nhất (UCLN) của chúng bằng 1, tức là:

\[
\text{UCLN}(n, n + 2) = 1
\]

Ta sử dụng định nghĩa UCLN:

1. **Xét hai số**:
- \(n\) có thể viết dưới dạng \(2k + 1\) với \(k\) là số nguyên (do \(n\) là số lẻ).
- Số tiếp theo là \(n + 2 = 2k + 3\).

2. **Tính UCLN**:
- Giả sử \(d\) là một ước chung của \(n\) và \(n + 2\). Vậy \(d\) sẽ phải chia cả \(n\) và \(n + 2\).
- Nếu \(d\) chia \(n\), ta có: \(n \equiv 0 \mod d\).
- Từ đó suy ra \(n + 2 \equiv 2 \mod d\) cũng phải là bội của \(d\), hay nói cách khác \(d\) phải chia cho 2.
- Nhưng \(d\) không thể là 2 vì \(n\) là số lẻ, nên \(d\) phải là số lẻ. Vậy UCLN của \(n\) và \(n + 2\) không thể chia cho bất kỳ số lẻ nào khác ngoài 1.

3. **Kết luận**:
- Do đó, ta có \(\text{UCLN}(n, n + 2) = 1\), nghĩa là hai số lẻ liên tiếp là nguyên tố cùng nhau.

Như vậy, đã chứng minh thành công rằng hai số lẻ liên tiếp luôn là nguyên tố cùng nhau.