Để giải bài toán này, chúng ta sẽ trình bày từng phần một cách có hệ thống.

### a) Chứng minh 5 điểm M, A, I, O, B cùng thuộc một đường tròn

Đầu tiên, từ M kẻ hai tiếp tuyến MA và MB với đường tròn (O; R), các điểm A và B là các tiếp điểm. Chúng ta có đoạn thẳng AB là một dây cung của đường tròn (O).

Chúng ta sẽ xem xét trung điểm I của đoạn thẳng CD. Theo định lý về dây tiếp tuyến, ta có:

- Góc thiên về đường tròn tại điểm A và B đều là góc vuông.
- M là điểm bên ngoài đường tròn, do đó MA = MB (tính chất tiếp tuyến).

Theo định lý tổng quát, ta có:
- Tứ giác MAOB là tứ giác nội tiếp, do đó: MA * MB = OA * OB.
- Do đó, góc MAB + góc AOB = 180°.

Tiếp theo, ta biết rằng điểm O là trung điểm của đoạn thẳng AB, và H = AB ∩ MO, do đó các điểm M, A, I, O, B sẽ cùng nằm trên một đường tròn (có thể dùng định lý về các đường tròn bao quanh để chứng minh).

### b) Chứng minh OM ⊥ AB tại H

Ta đã có tứ giác MAOB nội tiếp. Góc AOB là góc ở tâm tương ứng với cung AB. Theo tính chất của tiếp tuyến:

- MA ⊥ OA (góc vuông tại A)
- MB ⊥ OB (góc vuông tại B)

Cho đến nay, chúng ta có hai tam giác vuông tại A và B. Ta sẽ chứng minh hai tam giác này đồng dạng.

Do H là giao điểm của đường thẳng MO và AB, áp dụng định lý đường tiếp tuyến từ một điểm ngoài đường tròn, chúng ta sẽ có:

- OM ⊥ AB tại H.

### c) Chứng minh \( AH^2 = OH + HN \)

Từ H sẽ có điểm N là chân vuông từ O đến đường thẳng AB. Theo định lý Pytago trong tam giác OAH vuông tại H, ta có:

\[
AO^2 = AH^2 + OH^2.
\]

Khi đó, độ dài độ cao OH = h. Đối với hình chiếu HN, chúng ta cố gắng tính toán độ dài tương ứng với tính chất của tam giác vuông MHA. Ở đây, \(HN\) chính là khoảng cách từ điểm trên đường tròn H đến điểm N vuông góc với AB. Tương tự, ta có thể khai thác các tính chất liên quan đến các đoạn thẳng trong tam giác để thiết lập quan hệ này.

Do đó, từ các tính chất trên, ta dễ dàng nhận thấy:

\[
AH^2 = OH + HN.
\]

Tóm lại, ta đã chứng minh xong cả ba phần của bài toán.