Để rút gọn biểu thức \( A \) và tìm các giá trị của \( a \) để \( A < 0 \), ta thực hiện như sau:

### a) Rút gọn biểu thức \( A \)

Biểu thức đã cho là:

\[
A = \left( \frac{\sqrt{a} - \sqrt{a}}{\sqrt{a - 1}(a - \sqrt{a})} \right) \cdot \frac{\sqrt{a} + 1}{a - 1}
\]

Trước tiên, có một điều cần chú ý là \( \sqrt{a} - \sqrt{a} = 0 \), nên biểu thức trên sẽ trở thành không xác định khi \( a \) không có điều kiện đúng. Ta sẽ tìm hiểu từng phần.

1. **Xét tử số**: \( \sqrt{a} - \sqrt{a} = 0 \), do đó có thể có một số điều kiện về \( a \).
2. **Xét mẫu số**: Để biểu thức không bị vô định, \( a \) phải thoả mãn một số điều kiện.

### b) Tìm các giá trị của \( a \) để \( A < 0 \)

Sau khi tính toán, nếu mà biểu thức không dẫn đến giá trị vô định, ta sẽ cần tìm điều kiện:

Từ biểu thức:

\[
A \propto \frac{(\sqrt{a} + 1)}{(a - 1)(\sqrt{a - 1}(a - \sqrt{a}))}
\]

Ta xác định các phần có thể âm:

- \( a - 1 < 0 \) khi \( a < 1 \).
- \( \sqrt{a - 1} < 0 \) (không thể xảy ra vì \( a > 0 \)).
- \( a - \sqrt{a} < 0 \) khi \( a < 1 \).

Để có \( A < 0 \):

- Xét dấu của các thành phần trong phân thức.

### Tổng quát

1. **Khi \( a < 1 \)**: \( A < 0 \).
2. **Khi \( a = 1 \)**: Biểu thức vô định.
3. **Khi \( 0 < a < 1 \)**: \( A < 0 \).

### Kết luận:

Các giá trị của \( a \) để \( A < 0 \) là \( 0 < a < 1 \).