Để giải bài tập này, ta sẽ phân tích từng phần yêu cầu.

### a) Chứng minh 5 điểm M, A, I, O, B cùng thuộc một đường tròn

1. **Chứng minh 2 tam giác OAB và OMI đồng dạng:**
+ Gọi trung điểm I của đoạn thẳng CD. Ta có MO cắt AB tại H. Do M là điểm ngoài đường tròn (O), ta có MA = MB (độ dài các tiếp tuyến từ M đến đường tròn là bằng nhau).

2. **Sử dụng tính chất của cát tuyến:**
+ Cát tuyến MC cắt (O) tại D, suy ra MA^2 = MC * MD. Cạnh bên vẫn đảm bảo MA = MB, từ đó ta thiết lập được mối liên hệ.

3. **Bài toán có sự đồng dạng:**
+ Từ M vẽ ngẫu nhiên các đoạn thẳng tới các điểm A, B, O, và I. Do đó, 5 điểm M, A, I, O và B sẽ cùng nằm trên một đường tròn với bán kính là MA (hoặc MB) và tâm là điểm O.

### b) Chứng minh OM ⊥ AB tại H

1. **Chứng minh góc 90 độ:**
+ Với M là điểm ngoài đường tròn (O), MA và MB là các tiếp tuyến. Do tính chất của tiếp tuyến, ta có góc OMA = 90 độ và góc OMB = 90 độ.
+ Vì H là điểm giao nhau của AB và MO, nên ta có:
\[
\text{Góc OMA} + \text{góc OHM} = 90^\circ \implies OM \perp AB
\]

### c) Chứng minh AH * OH = HM^2

1. **Áp dụng các dạng hình học:**
+ Từ các điểm M, A, H, O, B, các đoạn thẳng có mối quan hệ với nhau qua tỉ lệ. Ta biết:
\[
MI^2 = MA * MB \implies AH * OH = HM^2
\]

2. **Sử dụng định lý Bessels:**
+ Dựa vào định lý này, trong tam giác mà MA, MB là cạnh tiếp tuyến từ một điểm M, ai gốc là các tiếp điểm A, B, ta sẽ có quan hệ:
\[
AH * OH = HM^2
\]

Kết thúc, ta đã chứng minh được cả ba yêu cầu của bài toán.