Cho tam giác ABC cân tại A, M là trung điểm của BC

Để chứng minh các điểm trong câu hỏi về tam giác \(ABC\) cân tại \(A\), ta tiến hành như sau:

**a)** Chứng minh tam giác \(ABM\) bằng tam giác \(ACM\):

Tam giác \(ABC\) là tam giác cân tại \(A\), vậy:

- \(AB = AC\) (định nghĩa tam giác cân)
- \(M\) là trung điểm của \(BC\), nghĩa là \(BM = MC\)

Do đó, ta có:

- Cạnh chung là \(AM\)

Áp dụng tiêu chí chứng minh hai tam giác bằng nhau (cạnh-cạnh-cạnh, hoặc cạnh-góc-cạnh):

Hai tam giác \(ABM\) và \(ACM\) có:

1. \(AB = AC\)
2. \(BM = MC\)
3. \(AM\) là cạnh chung.

Từ đó, suy ra tam giác \(ABM \cong ACM\).

**b)** Chứng minh rằng \(CM:MH = MC\):

1. Kẻ \(MH\) vuông góc với \(AB\) và \(MK\) vuông góc với \(AC\), với \(H \in AB\) và \(K \in AC\).
2. Do \(AB \parallel AC\) (vì tam giác cân), nên góc \(MHB = MKA\) (cùng là góc vuông).

Như vậy, ta có hai tam giác vuông \(MHB\) và \(MKA\) cùng có:

1. Góc vuông tại \(H\) và \(K\).
2. \(MH\) và \(MK\) là hai đường cao.

Vì \(M\) là trung điểm, từ đó có thể suy ra rằng \(CM:MH = MC\).

**c)** Để chứng minh tam giác \(AIJ\) cân và \(IJ \parallel BC\):

1. Gọi \(I\) là giao điểm của \(KM\) với \(AB\).
2. Gọi \(J\) là giao điểm của \(HM\) với \(AC\).

Xét tam giác \(AIM\) và \(AJM\) (các góc tại \(I\) và \(J\) đều bằng nhau do các góc đối đỉnh và tam giác cân đầu vào) rồi chứng minh rằng:

- \(AI = AJ\) (do \(AB = AC\) và \(M\) là trung điểm của \(BC\)).
- Vậy ta có \(AIJ\) là tam giác cân tại \(A\).

Tiếp theo, do \(MH \parallel IJ\) (cùng vuông góc với các đoạn AB, AC) nên:

- \(IJ \parallel BC\).

Từ ba kết luận trên cho ta thấy tam giác \(AIJ\) là tam giác cân và đồng thời \(IJ\) song song với \(BC\), và bài toán đã được chứng minh đầy đủ.