Cho ABC vuông tại B, kẻ AM là tia phân giác của góc BAC (M ∈ BC). Trên đoạn AC lấy điểm E sao cho AE = AB

Để giải bài toán này, chúng ta tiến hành theo từng bước.

### a) Chứng minh \(\angle ABM = \angle AEM\)

1. **Cho ABC vuông tại B**:
- Giả sử \( AB = c \), \( BC = a \), và \( AC = b \).
- Do đó, \(\triangle ABC\) là một tam giác vuông tại B.

2. **Kẻ AM là tia phân giác của góc BAC**:
- Theo định nghĩa, \(\angle BAM = \angle CAM\).

3. **Lấy điểm E trên đoạn AC sao cho AE = AB**:
- Từ định nghĩa này, ta có \( AE = AB = c\).

4. **Xét tam giác EAB**:
- Trong tam giác này, chúng ta có \( AE = AB = c \).
- Do đó, tam giác EAB có \(\angle EAB = \angle EAC\).

5. **Từ đó ta có**:
- \(\angle ABM = \angle BAM\) (do AM là tia phân giác)\.
- \(\angle AEM = \angle EAC\).
- Kết luận: \(\angle ABM = \angle AEM\) (do \(\angle BAM = \angle EAC\)), nên \(\angle ABM = \angle AEM\).

### b) Chứng minh AM ⊥ BE

1. **Dựa vào tính chất của tia phân giác**:
- Tia AM chia góc BAC thành hai góc bằng nhau. Tức là, \(\angle BAM = \angle CAM\).

2. **Chỉ ra rằng tam giác ABE và tam giác ACE là tam giác vuông**:
- Vì \( \angle ABC = 90^\circ\), ta có \(\angle ABE + \angle ABM = 90^\circ\).

3. **Bây giờ, xét góc AEM**:
- Trong tam giác AEM, ta cũng có \( \angle AEM + \angle AME = 90^\circ\) (vì AE = AB).

4. **So sánh các góc**:
- Do các góc \( \angle ABM = \angle AEM\) vừa chứng minh ở phần a), thì cũng có thể nói rằng \( AM\) là đường phân giác và nó tạo ra hai góc bổ sung: \(\angle ABM + \angle AEM = 90^\circ\). Điều này cho thấy AM vuông góc với BE.

5. **Kết luận**:
- Từ các lý luận trên, ta chứng minh được rằng \( AM \perp BE\).

Vậy ta đã hoàn thành yêu cầu của bài toán.