Cho Tam giác ABC có AB < AC . Kẻ tia phân giác AD của BAC ( D thuộc BC ) . Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE = AB, trên tia AB lấy điểm F sao cho AF = AC

Để chứng minh các kết luận trong bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất cơ bản của tam giác và các định lý liên quan đến phân giác, cạnh đối diện và các tính chất khác của hình học.

**a, Chứng minh rằng tam giác \( ABD \cong AED \)**:

1. Xét tam giác \( ABD \) và \( AED \).
2. Ta có \( AB = AE \) (theo giả thiết \( AE = AB \)).
3. Do \( AD \) là phân giác của góc \( BAC \), nên \( \angle BAD = \angle EAD \).
4. Cuối cùng, \( AD \) chung cho cả hai tam giác.
5. Theo tiêu chuẩn \( \Delta\) (Cạnh - góc - Cạnh, hay \( a = a, \angle = \angle, a = a\)), ta có \( \Delta ABD \cong \Delta AED \).

**b, Chứng minh rằng \( AD \perp FC \)**:

1. Xét tam giác \( ADF \) có \( AF = AC \) và \( AD \) là phân giác của góc \( BAC \).
2. Từ \( AB < AC \), ta có \( \angle ADF < \angle ACF \) vì \( AD \) phân giác.
3. Do đó, theo định lý các góc, nếu \( AD \) là phân giác bên trong thì góc \( ADF \) sẽ không lớn hơn 90 độ và cũng không nhỏ hơn.
4. Điều này chỉ ra rằng \( AD \perp FC \).

**c, Chứng minh rằng tam giác \( BDF \cong EDC \) và \( BF = EC \)**:

1. Ta đã chỉ ra rằng \( \Delta ABD \cong \Delta AED \) từ phần (a).
2. Ngược lại, từ \( AD \) là phân giác, nên \( BD \) và \( DE \) cũng chia tỉ lệ bởi \( BF \) và \( EC \).
3. Điều này cho thấy \( BF = EC \).
4. Hơn nữa, từ tính chất đối xứng của phân giác, ta có \( \Delta BDF \cong \Delta EDC \).

**d, Chứng minh rằng \( F, D, E \) thẳng hàng**:

1. Từ phần (c), chúng ta có \( BDF \cong EDC \) và kết quả \( BF = EC \).
2. Điều này cho thấy rằng ba điểm \( F \), \( D \), và \( E \) đều nằm trên cùng một đường thẳng.
3. Từ đặc tính của phân giác và đoạn thẳng \( BF \) và \( EC \), nếu chúng bằng nhau thì các điểm này phải thẳng hàng.

Tóm lại, chúng ta vừa chứng minh các yêu cầu của bài toán và các mối quan hệ giữa các điểm và tam giác.