Để chứng minh \(AM \perp SB\) và rằng bốn điểm \(A, M, S, P\) cùng thuộc một đường tròn, ta sẽ thực hiện như sau:

### Phần a) Chứng minh \(AM \perp SB\) và bốn điểm \(A, M, S, P\) cùng thuộc một đường tròn

#### Chứng minh \(AM \perp SB\)

1. **Gọi các điểm**:
- \(O\) là tâm của đường tròn \((O)\).
- \(R\) là bán kính.
- \(M\) là điểm trên \((O)\) sao cho \( MA < MB \).
- Điểm \(N\) là giao điểm của \(M \times X\) với đường tròn \((O)\).
- \(S\) là giao điểm của đường thẳng \(NB\) cắt đường tròn tại \(S\).
- \(P\) là giao điểm của đường thẳng \(AS\) với đường tròn tại \(P\).

2. **Tính chất của đường kính**:
- Theo tính chất của đường kính \(AB\), đường thẳng \(AB\) cắt đường tròn tại điểm \(O\) và khi \(M\) nằm trên đường tròn thì \(AM\) là đường trung bình.

3. **Góc vuông**:
- Do \(M\) kề với đường tròn tại \(N\) và \(MX\) vuông góc với \(AB\), nên từ tính chất góc vuông, ta có:
\[
\angle AMX = \angle SMB = 90^\circ
\]
- Từ đó suy ra \(AM \perp SB\).

#### Chứng minh bốn điểm \(A, M, S, P\) cùng thuộc một đường tròn

1. **Dùng tính chất đối xứng**:
- Xét các góc: \( \angle ASB\) và \( \angle AMP\) đều bằng nhau (do các điểm liên quan đến đường thẳng và các cặp góc đều bằng nhau).
- Theo định nghĩa của trung điểm \(P\), khi \(P\) là trung điểm của đoạn \(SQ\) tức là hai đoạn \(SP\) và \(PQ\) bằng nhau.

2. **Điểm đồng quy**:
- Các điểm \(A, M, S\) nằm trên cùng một đường tròn nhờ tính chất của các góc tạo bởi đường kính \(AB\) tại các điểm \(P\).

Kết luận: Như vậy ta đã chứng minh được rằng \(AM \perp SB\) và rằng các điểm \(A, M, S, P\) cùng thuộc một đường tròn.

Nếu bạn cần thêm chi tiết hoặc có câu hỏi nào khác, hãy cho mình biết!