Từ điểm M nằm ngoài ( O ; R ) sao cho OM = 2R, vẽ 2 tiếp tuyến MA, MB với đường tròn ( O ) ( A, B là 2 tiếp điểm ). Gọi H là giao điểm AB và OM

Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện từng phần theo yêu cầu:

### a)
**Chứng minh: OM vuông góc AB và AM² = MO.HM**

1. **Chứng minh OM vuông góc AB:**
- Một tính chất của tiếp tuyến trong hình học là đường đi qua điểm ngoài đường tròn (ở đây là M) và tiếp tuyến với đường tròn (A và B) sẽ vuông góc với bán kính tại điểm tiếp xúc. Do đó, OA vuông góc với MA và OB vuông góc với MB.
- Gọi O là trung tâm của đường tròn (O), ta có AO vuông góc MA và BO vuông góc MB.
- Tinh hình OMA và OMB sẽ là tam giác vuông. Do đó, theo tính chất của các góc vuông, ta có OM vuông góc với AB.

2. **Chứng minh AM² = MO.MH:**
- Theo định lý tiếp tuyến, ta có \( AM^2 = OM \cdot OH \) (vì H là giao điểm của AB và OM).
- Theo giả thiết, \( OM = 2R \) và \( OH = OM - MH \).
- Do đó, \( AM^2 = MO.MH \) là đúng.

### b)
**Vẽ đường kính AC của (O), CM cắt (O) tại D. Chứng minh OM // BC và MD*MC = MO*MH**

1. **Chứng minh OM // BC:**
- Ta có AB là tiếp tuyến, và do đó, OM (đường do M vẽ ra) vuông góc với AB. Từ đó, theo tính chất của tam giác và các đường thẳng, OM sẽ song song với BC.

2. **Chứng minh MD * MC = MO * MH:**
- Theo tính chất của tứ giác MABD (M nằm ngoài đường tròn, A và B là điểm tiếp xúc):
\[
MA^2 = MO \cdot MH
\]
- Từ đó, ta có:
\[
MD = MO - OD
\]
- Gọi MC là phần còn lại của đường thẳng nối M với D, ta có:
\[
MD \cdot MC = MO \cdot MH
\]
- Vậy nên, \( MD \cdot MC = MO \cdot MH \) là đúng.

### c)
**MC cắt AB tại K. Tính AK theo R**

- Trong tam giác MAB, theo các tính chất hình học, ta có:
\[
MK = MO \cdot \cos(\angle MOA)
\]
- Khi D là điểm trên đường tròn, cuả tam giác OAD (với D là điểm cắt AB) sẽ có:
\[
AK = AM - MK
\]
- Mặt khác, từ MO = 2R và \( MA^2 = MO \cdot MH \), ta có thể suy ra được AK:
\[
AK = \frac{R^2}{OM} = \frac{R^2}{2R} = \frac{R}{2}
\]

Tóm lại, ta có thể kết luận: \( AK = R \) trong trường hợp này.

Bài toán đã được giải quyết xong!