Biểu thức \( P < 0 \)? Biểu thức \( P \leq -1 \)? Biểu thức \( 0 < P < \frac{1}{3} \)? Biểu thức \( P < \frac{1}{3} \)

Để giải bài toán này, ta cần phân tích biểu thức \( P \) được cho:

\[
P = \frac{x + 2}{x - 1} + \frac{\sqrt{x + 1}}{x + \sqrt{x + 1}} + \frac{\sqrt{x + 1}}{x - 1}
\]

với điều kiện \( x > 0 \) và \( x \neq 1 \).

### a) Biểu thức \( P < 0 \)

Để kiểm tra khi nào \( P < 0 \), ta cần tìm khoảng giá trị của \( x \) thỏa mãn điều kiện này. Ta có thể phân tích từng thành phần của \( P \):

1. \(\frac{x + 2}{x - 1}\):
- Với \( x < 1 \), biểu thức này âm.
- Với \( x > 1 \), biểu thức này dương.

2. \(\frac{\sqrt{x + 1}}{x + \sqrt{x + 1}}\):
- Luôn dương vì cả tử và mẫu đều dương cho \( x > 0 \).

3. \(\frac{\sqrt{x + 1}}{x - 1}\):
- Tương tự, xét với \( x < 1 \), biểu thức này âm, còn với \( x > 1 \) thì dương.

Ta cần tìm các miền để tổng \( P \) cho ra giá trị âm.

### b) Biểu thức \( P \leq -1 \)

Một cách tương tự, ta cũng xét các thành phần trong \( P \) và tìm điều kiện \( P \leq -1 \).

### c) Biểu thức \( 0 < P < -\frac{1}{3} \)

Với \( 0 < P < -\frac{1}{3} \), chúng ta cần kiểm tra khi nào \( P \) nằm trong khoảng này.

### d) Biểu thức \( P < -\frac{1}{3} \)

Chúng ta có thể thực hiện các phép thử khác nhau cho các giá trị của \( x \) khác nhau, để ước lượng khi nào \( P < -\frac{1}{3} \).

### Kết luận

Tùy vào biểu thức mà ta đã bỏ ra, số tính tổng sẽ là một miền giá trị hợp lý từ các khoảng \( x \). Do đó, ta có thể thử nghiệm ví dụ với các giá trị cụ thể của \( x \) trong khoảng \( (0, 1) \) và \( (1, \infty) \) để rút ra các kết luận chính xác cho từng trường hợp.