Để chứng minh các tính chất trong tam giác ABC và ADE, chúng ta sẽ lần lượt thực hiện từng yêu cầu:

### a. Chứng minh tam giác ADE cân

Giả sử tam giác ABC cân tại A, tức là AB = AC. Ta biết rằng \(AD\) là tia phân giác của góc \(ABC\) và \(AE\) là tia phân giác của góc \(ACB\).

Theo định nghĩa tia phân giác, chúng ta có:

\[
\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{CD} \quad (1)
\]

Vì tam giác ABC cân, nên \(AB = AC\), suy ra:

\[
\frac{AB}{AC} = \frac{AB}{AB} = 1
\]

Do đó, từ (1) ta có:

\[
\frac{BD}{CD} = 1 \implies BD = CD
\]

Tương tự, vì \(AE\) là tia phân giác của góc \(ACB\):

\[
\frac{AB}{AC} = \frac{AE}{AE} = 1
\]

Điều này dẫn đến \(AE = DE\).

Do đó, trong tam giác ADE có:

\[
AD = AD, DE = DE, BD = CD \Rightarrow \boxed{AD = DE}
\]

Vì vậy, tam giác ADE là tam giác cân.

### b. Chứng minh tam giác BOC cân tại O

Ta có \(O\) là giao điểm của hai tia phân giác \(BE\) và \(CD\). Theo định nghĩa của tia phân giác, ta có:

\[
\frac{AB}{AC} = \frac{BO}{OC} \quad (2)
\]

Không dấu, vì tam giác ABC là tam giác cân nên:

\[
\frac{AB}{AC} = 1
\]

Từ (2), ta suy ra:

\[
\frac{BO}{OC} = 1 \implies BO = OC.
\]

Do đó, tam giác BOC cũng là tam giác cân tại O, tức là \(BO = OC\) và ta có thể viết:

\[
\boxed{BO = OC}.
\]

### c. Chứng minh AO là tia phân giác của góc BAC

Để chứng minh \(AO\) là tia phân giác của góc \(BAC\), ta cần chứng minh rằng:

\[
\frac{AB}{AC} = \frac{BO}{OC}.
\]

Theo định nghĩa, trong tam giác ABC, vì AB = AC (vì ABC là tam giác cân), ta có:

\[
\frac{AB}{AC} = 1.
\]

Ở phần b, chúng ta cũng chứng minh rằng \(BO = OC\) nên:

\[
\frac{BO}{CO} = 1.
\]

Do đó, ta kết luận rằng:

\[
\frac{AB}{AC} = \frac{BO}{OC} \implies AO \text{ là tia phân giác của } \angle BAC.
\]

Vậy, ta có:

\[
\boxed{AO \text{ là tia phân giác của } \angle BAC}.
\]

Tóm lại, ta đã chứng minh tất cả các yêu cầu trong bài toán, và các tính chất của tam giác ADE và ABC đã được xác định rõ ràng.