Để chứng minh các phần mà bạn yêu cầu, ta sẽ làm từng phần một.

### a. Chứng minh tứ giác \(ABCD\) là hình chữ nhật

1. **Tính chất trung điểm:**
- Gọi \(E\) là trung điểm của \(BC\), suy ra \(BE = CE\).
- \(D\) là điểm trên tia \(AE\) sao cho \(E\) là trung điểm của \(AD\), tức là \(AE = ED\).

2. **Độ dài các cạnh:**
- Vì \(A\) là trung điểm của \(CF\) nên \(AC = CF\).
- Khi đó, \(I\) là trung điểm của \(AB\), có nghĩa là \(AI = IB\).

3. **Đường chéo:**
- Ta cần chứng minh \(AC \perp BD\). Từ hình vẽ, ta nhận thấy rằng vì \(ABC\) vuông tại \(A\) nên đoạn thẳng \(AB\) vuông góc với đoạn thẳng \(AC\).

4. **Từ đó:**
- \(AB \perp AC\) và \(AD \perp BE\) (do \(AE = ED\) và \(E\) là trung điểm).
- Theo tính chất của hình chữ nhật, nếu hai cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau thì nó là hình chữ nhật.

Vậy tứ giác \(ABCD\) là hình chữ nhật.

### b. Chứng minh ba điểm \(D\), \(I\), \(F\) thẳng hàng

1. **Điểm I đang là trung điểm của AB**
- Ta có \(AI = IB\).

2. **Đường thẳng nối \(D\) và \(F\):**
- Vì \(A\) là trung điểm của \(CF\), nên các điểm \(C\), \(A\), và \(F\) thẳng hàng.
- Do đó, điểm \(D\) thuộc đường thẳng \(EF\) (vì \(E\) là trung điểm của \(BC\)).

3. **Tính chất của ba điểm:**
- Ta có \(A\), \(E\), và \(D\) thẳng hàng vì \(E\) là trung điểm của \(BC\).
- Theo điều kiện vị trí điểm, \(I\) cũng nằm trên đường thẳng \(DF\).

Vậy ba điểm \(D\), \(I\), \(F\) thẳng hàng.

### c. Tam giác \(ABC\) cân có điều kiện gì để tứ giác \(ABCD\) là hình vuông?

1. **Tam giác cân:**
- Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) đã cho là cân tại \(A\) khi \(AB = AC\).

2. **Hình vuông:**
- Để tứ giác \(ABCD\) là hình vuông, ta cần kiểm tra tính chất dài các cạnh và các góc.
- Cần phải thoả mãn \(AD = AB = AC\) và góc \(ACB = 90^\circ\).

3. **Điều kiện cần thiết:**
- Nếu tam giác \(ABC\) có \(AB = AC\) và vuông tại \(A\), thì:
\[
AD = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}AB
\]
- Điều này có nghĩa là \(AD\) cần phải dài bằng với \(AB\) và \(AC\) để đủ điều kiện là hình vuông.

Như vậy, điều kiện cần thiết là tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) và vuông tại \(A\) với các cạnh này bằng nhau và \(AD = AB = AC\).