Câu 2. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi OK là đường cao của tam giác OBC và OH là đường cao của tam giác OAK. Xét các mệnh đề:

Phân tích: "Đôi một vuông góc" nghĩa là OA ⊥ OB, OB ⊥ OC và OC ⊥ OA.

a) OA ⊥ (OBC)

Vì OA ⊥ OB và OA ⊥ OC, mà OB và OC nằm trong mặt phẳng (OBC), nên OA ⊥ (OBC).

• Kết luận: Đúng.

b) OB ⊥ (OAC)

Vì OB ⊥ OA và OB ⊥ OC, mà OA và OC nằm trong mặt phẳng (OAC), nên OB ⊥ (OAC).

• Kết luận: Đúng.

c) Các cạnh đối nhau trong tứ diện OABC thì vuông góc với nhau.

Các cặp cạnh đối nhau là OA và BC, OB và AC, OC và AB.

• OA ⊥ (OBC) nên OA ⊥ BC.
• OB ⊥ (OAC) nên OB ⊥ AC.
• OC ⊥ (OAB) nên OC ⊥ AB.

Vậy tất cả các cặp cạnh đối nhau đều vuông góc.

• Kết luận: Đúng.

d) OH không vuông góc với mặt phẳng (ABC)

Ta có OK ⊥ BC (do OK là đường cao của tam giác OBC). Ta có OH ⊥ AK (do OH là đường cao của tam giác OAK). Ta cần chứng minh OH ⊥ (ABC).

Vì OA ⊥ (OBC) nên OA ⊥ BC. Mà OK ⊥ BC nên BC ⊥ (OAK). Suy ra BC ⊥ OH.

Ta có OH ⊥ AK và OH ⊥ BC. Vì AK và BC nằm trong mặt phẳng (ABC) và cắt nhau, nên OH ⊥ (ABC). Vậy mệnh đề "OH không vuông góc với mặt phẳng (ABC)" là sai.

• Kết luận: Sai.

Tóm lại câu 2:

• a) Đúng
• b) Đúng
• c) Đúng
• d) Sai

Câu 3. Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình thoi tâm O và SA = SC = SB = SD. Xét các mệnh đề:

Phân tích: Vì SA = SC và SB = SD, hình chóp này có tính chất đặc biệt.

a) SO ⊥ AC

Xét tam giác SAC có SA = SC, nên tam giác SAC cân tại S. O là trung điểm của AC (vì ABCD là hình thoi). Trong tam giác cân, đường trung tuyến cũng là đường cao, vậy SO ⊥ AC.

• Kết luận: Đúng.

b) SO ⊥ (ABCD)

Tương tự như trên, xét tam giác SBD có SB = SD, nên SO ⊥ BD.

Ta đã chứng minh SO ⊥ AC và SO ⊥ BD. Vì AC và BD cắt nhau tại O và nằm trong mặt phẳng (ABCD), nên SO ⊥ (ABCD).

• Kết luận: Đúng.

c) AC ⊥ (SBD)

Vì SO ⊥ (ABCD) nên SO ⊥ AC.

ABCD là hình thoi nên AC ⊥ BD.

Vậy AC vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau SO và BD nằm trong mặt phẳng (SBD). Do đó AC ⊥ (SBD).

• Kết luận: Đúng.

d) (AC, SB) = 60°

Mệnh đề này sai. Góc giữa AC và SB không nhất thiết là 60°. Nó phụ thuộc vào kích thước của hình thoi và độ dài các cạnh bên của hình chóp. Chỉ trong trường hợp đặc biệt nào đó (ví dụ như hình chóp đều mà đáy là hình thoi có góc 60 độ) thì góc này mới bằng 60 độ.

• Kết luận: Sai.

Tóm lại câu 3:

• a) Đúng
• b) Đúng
• c) Đúng
• d) Sai