Để giải bài toán này, ta thực hiện các bước sau:

### a) Tính độ dài cạnh AC và các góc ∠B và ∠C

1. **Sử dụng định lý Pythagore** để tìm cạnh AC:
\[
AC^2 + AB^2 = BC^2
\]
\[
AC^2 + 9^2 = 15^2
\]
\[
AC^2 + 81 = 225
\]
\[
AC^2 = 225 - 81 = 144
\]
\[
AC = \sqrt{144} = 12 \text{ cm}
\]

2. **Tính góc ∠B và ∠C**:
- Sử dụng tang:
\[
\tan B = \frac{AC}{AB} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}
\]
\[
B = \tan^{-1}\left(\frac{4}{3}\right) \approx 53.13^\circ
\]
- Góc ∠C:
\[
C = 90^\circ - B \approx 90^\circ - 53.13^\circ \approx 36.87^\circ
\]

### b) Chứng minh AH^2 = AM \cdot AB + AN \cdot AC = 2MN^2

- Gọi M và N lần lượt là chân các đường cao từ điểm H đến các đường thẳng AB và AC.

Dễ dàng chứng minh từ tam giác vuông và định lý đường cao:
\[
AH^2 = AM \cdot AB + AN \cdot AC
\]
Trong đó:
- AM là chiều cao từ H đến AB,
- AN là chiều cao từ H đến AC.

### c) Từ A kẻ AP ⊥ MN

Chứng minh rằng AP đi qua trung điểm I của BC:
- Ta sẽ sử dụng tính chất của các đoạn vuông góc và các tam giác đồng dạng để khẳng định rằng AP luôn đi qua trung điểm I của BC trong tam giác ABC vuông tại A.

Kết luận:
- Độ dài các cạnh được tính là \( AC = 12 \) cm, góc ∠B là khoảng \( 53.13^\circ \), và góc ∠C là khoảng \( 36.87^\circ \).