GIẢI
-Gọi O là trung điểm của AK.
Xét tam giác  APK vuông tại P có:O là trung điểm của AK.
>>AO=OK=OP (1) (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền).
Xét tam giác AQK vuông tại Q có: O là trung điểm của AK.
>>OA=OK=OQ (2) ( tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền).
Từ (1) và (2) suy ra:OA=OK=OQ=OP.
>>O là điểm cách đều bốn đỉnh của tứ giác  APKQ.
Vậy O là điểm cách đều bốn đỉnh của tứ giác APKQ.
-Để tứ giác APKQ là hình chữ nhật thì  góc A  bằng 90 độ.
Vậy để tứ giác APKQ là hình chữ nhật thì tam giác ABC vuông tại A.
-Tứ giác APKQ là hình chữ nhật:
>>AK=PQ.
Để PQ có độ dài nhỏ nhất thì AK có độ dài nhỏ nhất.
Mà AK luôn lớn hơn hoặc bằng độ dài đường cao kẻ từ đỉnh A đến cạnh BC của tam giác ABC.
>>Để PQ có độ dài nhỏ nhất thì K là giao điểm của đường cao kẻ từ đỉnh A với cạnh BC của tam giác ABC.
Vậy để PQ có độ dài nhỏ nhất thì K là giao điểm của đường cao kẻ từ đỉnh A  với cạnh BC của tam giác ABC.