Đặt x - y = a; y - z = b; z - x = c
=> a + b + c = 0
=> a^3 + b^3 + c^3 − 3abc = 0
=> (a + b + c)(a^2 + b^2+ c^2 − ab − bc − ca) = 0
Để M chia hết cho 81 ta chứng minh 3abc chia hết cho 81 (hay abc chia hết cho 27)
Từ x + y + z = (x − y)(y − z)(z − x)  (1)
+) Nếu cả 3 số x, y, z đều có cùng số dư khi chia cho 3
=> ta có x - y ,y - z và z - x đều chia hết cho 3
=> abc chia hết cho 27
+) Nếu cả 3 số có số dư khác nhau khi chia cho 3
=> vế trái của (1) chia hết cho 3 còn vế phải thì không (loại)
+) Nếu chỉ có 2 số cùng số dư khi chia cho 3
=> VT không chia hết cho 3 và VP chia hết cho 3 (vô lí)
Vậy ta luôn có đpcm