Bài 9. Cắt hình nón đỉnh \(S\) bởi mặt phẳng đi qua trục ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng \(a\sqrt2\).
a) Tính diện tích xuang quanh, diện tích đáy và thể tích của khối nón tương ứng.
b) Cho một dây cung \(BC\) và đường tròn đáy hình nón sao cho mặt phẳng \((SBC)\) tạo với mặt phẳng chứa đáy hình nón một góc \(60^0\). Tính diện tích hình vuông và mặt phẳng đáy.
Giải:

a) Cạnh huyền chính bằng đường kính đáy do vậy bán kính đáy \(r =  \frac{a\sqrt{2}}{2}\) và đường cao \(h = r\), đường sinh \(l = a\).
Vậy \(S_xq = πrl =\) \( \frac{\sqrt{2}}{2}\pi a^2\) ( đơn vị diện tích)
      \(S\)đáy = \( \pi r^{2}\) = \( \pi \frac{a^{2}}{2}\) ( đơn vị diện tích);
      \(V\)nón = \( \frac{1}{3}\pi r^{2}h\) \( = \frac{\sqrt{2}}{12}\pi a^{3}\) ( đơn vị thể tích)
b) Gọi tâm đáy là \(O\) và trung điểm cạnh \(BC\) là \(M\).
Theo giả thiết, \( \widehat{SMO}\) = \(60^0\).
Ta có diện tích \(∆ SBC\) là: \(S = {{SM.BC}\over2}\)
Ta có \(SO = SM.sin60^0\) = \( \frac{\sqrt{3}}{2}SM\).
Vậy  \( SM = \frac{2}{\sqrt{3}}SO = \frac{\sqrt{6}}{3}a\).
Ta có \(∆ OMB\) vuông ở \(M\) và \(BO = r\) = \( \frac{a\sqrt{2}}{2}\);
                                    \(OM = SM.cos60^0\) = \( \frac{\sqrt{6}}{6}a\).
                                    \( BM^{2}= BO^{2} - OM^{2} = \frac{a^{2}}{3}\)
Vậy \(BM\) = \( \frac{a}{\sqrt{3}}\) và \(BC\) = \( \frac{2a}{\sqrt{3}}\).
Do đó \(S = {{SM.BC}\over2}\) = \( \frac{\sqrt{2}}{3}a^{2}\) (đơn vị diện tích)