Bài 5. Cho hai đường tròn \({C_1}({F_1};{R_1})\)  và \({C_2}({F_2};{R_2})\). \(C_1\) nằm trong \(C_2\) và \(F_1≠  F_2\). Đường tròn \((C)\)  thay đổi luôn tiếp xúc ngoài với \(C_1\) và tiếp xúc trong với \(C_2\).Hãy chứng tỏ rằng tâm \(M\) của đường tròn \((C)\) di động trên một elip.
Giải

Gọi \(R\) là bán kính của đường tròn \((C)\)
\((C)\) và \(C_1\) tiếp xúc ngoài với nhau, cho ta:
\(MF_1= R_1+ R\)  (1)
\((C)\) và \(C_2\) tiếp xúc trong với nhau, cho ta:
\(MF_2= R_2- R\)  (2)
Từ (1) VÀ (2) ta được 
\(M{F_1} + M{F_2} = {R_1} + {R_2} = R\) không đổi
Điểm M có tổng  các khoảng cách \(M{F_1} + M{F_2} \) đến hai điểm cố định \(F_1\) và \(F_2\) bằng một độ dài không đổi \({R_1} + {R_2}\)
Vậy tập hợp điểm \(M\) là đường elip, có các tiêu điểm \(F_1\) và \(F_2\)   và có tiêu cự
\(F_1F_2= R_1+R_2\)