Đặt P = a + b + c; Q = a² + b² + c² ≥ 0 ta có :

2(ab + bc + ca) = (a + b + c)² - (a² + b² + c²) = P² - Q

Mặt khác ta có BĐT :

3(a² + b² + c²) ≥ (a + b + c)² ⇔ 3Q ≥ P² ⇔ 3Q - P² ≥ 0 (1)

Theo giả thiết : a + b + c + ab + bc + ca = 6

⇔ 6(a + b + c) + 6(ab + bc + ca) = 36

⇔ 6P + 3P² - 3Q = 36 (2)

Lấy (1) + (2) vế với vế :

2P² + 6P ≥ 36 ⇔ 4P² + 12P ≥ 72 ⇔ 4P² + 12P + 9 ≥ 81

⇔ (2P + 3)² ≥ 9² ⇔ |2P + 3| ≥ 9

@ Nếu 2P + 3 ≥ 9 ⇔ P ≥ 3

⇒ 3Q ≥ P² = 9 ⇒ Q ≥ 3 (*)

@ Nếu 2P + 3 ≤ - 9 ⇔ P ≤ - 6

⇒ 3Q ≥ P² = 36 ⇒ Q ≥ 12 (**)

Từ (*) và (**) có Q ≥ 3 hay a² + b² + c² ≥ 3 ( với mọi a; b; c ∈ R)