Xét ΔABS có:

FA=FB

KB=KS

⇒KFà đường trung bình

⇒KF//AS;JF=12AS

Chứng minh tương tự, ta được:

EL là đường trung bình trong ΔACS

⇒EL//AS;EL=12AS

Do đó EFKLlà hình bình hành

Ta lại có: KL là đường trung bình của ΔBCS

⇒KL//BC

mà AS⊥BC

⇒KF⊥KL

⇒EFKLlà hình chữ nhật

⇒E,F,K,L cùng thuộc một đường tròn có tâm là trung điểm FL và EK(1)

Chứng minh tương tự dựa vào các đường trung bình, ta được:

DFJLlà hình chữ nhật

⇒D,F,J,L⇒D,F,J,L cùng thuộc một đường tròn có tâm là trung điểm của DJDJ và FLFL (2)(2)

DEJK là hình chữ nhật

⇒D,E,J,K cùng thuộc một đường tròn có tâm là trung điểm DJ và EK(3)

Ta cũng có ˆFIL=90(CI⊥AB)

⇒F,I,L⇒cùng thuộc đường tròn có tâm là trung điểm FL4)

ˆKHE=90o(BH⊥AC)

⇒K,H,E⇒K,H,E cùng thuộc đường tròn có tâm là trung điểm EKEK (5)(5)

Từ (1)(2)(3)(4)(5)⇒D,E,F,G,H,I,J,K,Lcùng thuộc một đường tròn

Đường tròn đi qua 9 điểm trên được gọi là đường tròn Euler